第六章常微分方程 两边积分:xy=∫smx+c,y=(-cosx+c) (五)全徽分方程 微分方程M(x,y)x+N(x,y)dhy=0 其中M(x,y)与N(x,y)连续可微的函数.若满足可积性条件: MM(x,y) a(x,y) 则称该方程是全微分方程( exact differential equation) 例4:解方程(1+)ax+e(-x)=0. 解:是一个全微分方程.下面用三种方法求解这个方程. 解法1:线积分法 解法2:用不定积分计算.l(x,y)=x+ye= 解法3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为 d x+ i dy +e (yedx-xdy dx dx +erdy+yed()=0 此式进一步又化为+edy+yd(e)=0 由此立即得到方程通解为x+yei=C. (六)积分因子 若微分方程 M(x, y)d+N(x, y)dy=0 不是全微分方程,有时可以找到一个非零函数(x,y),使得 u(x,y)M(x, y)ax+u(x,y)N(x, y)dy=0 成为全微分方程.这样的函数称为积分因子( integrating factor) 例5:解方程ydx+(x-3xy2)y=0 A: ydx+(x-3x'y)dy= ydx+xdy-3x'y-dy ydx+(x-3x'y)dy=0= d(xy)-3x'y dy=0 两边同乘 d(xy)3dy y (xy)2 3d(ny)=0 In 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 两边积分： x y = xdx + c  sin , y x = − x + c 1 ( cos ) . (五)全微分方程 微分方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 其中 M (x, y) 与 N(x, y) 连续可微的函数. 若满足可积性条件：     M x y y N x y x ( , ) ( , ) = 则称该方程是全微分方程(exact differential equation). 例 4:解方程 (1+ ) + (1− ) = 0 x y x e dx ey x y dy . 解:是一个全微分方程. 下面用三种方法求解这个方程. 解法 1:线积分法 解法 2:用不定积分计算. u x y x y e c x ( , ) = + y = . 解法 3:凑全微分法,将方程中各项重新组合为 dx e dy e ydx xdy y x y x + + y − ( ) = 0 dx e dy y e ydx xdy y x y x + + y − ( ) = 2 0, 即 dx e dy y e d x y x y x + + y = ) ( ) 0. 此式进一步又化为 dx e dy yd e x y x + + ( y ) = 0 由此立即得到方程通解为 x y e c x + y = . (六)积分因子 若微分方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 不是全微分方程, 有时可以找到一个非零函数 (x, y) , 使得 (x, y)M(x, y)dx +(x, y)N(x, y)dy = 0 成为全微分方程. 这样的函数称为积分因子(integrating factor). 例 5:解方程 ( 3 ) 0 3 2 y dx + x − x y dy = . 解: y dx x x y dy ydx xdy x y dy 3 2 3 2 + ( − 3 ) = + − 3 ( 3 ) 0 3 2 ydx + x − x y dy =  ( ) 3 0 3 2 d xy − x y dy = 两边同乘 ( ) 3 1 xy , ( ) ( ) 0 3 3 − = y dy xy d xy ( ) 3 (ln ) 0 1 2 1 2 − =        −  d y xy d  ( ) ln 0 2 1 3 2 =         − − y xy d