第六章常微分方程 原方程的通解为 +3n 1 例6:解方程xax+y+4y3(x2+y2)hy=0 解: ++4y3(x2+y2)d d(x2+y2)+4y(2+y2k 两边同乘、1一得:2x2+y2+4y3=0 2+y +4y3d=dn√x2+y2+y 从而得到方程通解hyx2+y2+y+=C 6-1-3高阶可降阶类型方程的求解 般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设 法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论 (一)y=f(x)类型 可通过n次积分可以得到通解.逐次积分得到方程通解变为 (x-1)-lf(dt+Cx"+.+cm-x+c (二)y"=f(x,y)类型 令p(x)=y,y=p(x),方程变成:p'=f(x,p) 这是一阶方程,有可能求解 例7:设有单位质量的质点Q,受到沿x方向的力P= Asn o t的作用 沿x轴运动.及空气阻力与速度成正比,比例系数k>0,其中A,为常 数.如果x(0)=0,x(0)=0,试求质点运动规律 解:根据 Newton第二定理,质点运动方程为 d dx k-t asin o t x(0)=0,x(o)= 解:这是y"=f(x,y)型方程,令p()=x().则方程变成: 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程 原方程的通解为 1 2 2 3 ( ) ln xy + y = c. 例 6:解方程 4 ( ) 0 3 2 2 xdx+ ydy + y x + y dy = . 解: xdx ydy 4y (x y )dy 3 2 2 + + + = ( ) 4 ( ) 0 2 1 2 2 2 2 d x + y + y x + y dy = 两边同乘 2 2 1 x + y 得: ( ) 4 0 2 1 3 2 2 2 2 + = + + y dy x y d x y ( ) 4 (ln ) 0 2 1 3 2 2 4 2 2 2 2 + = + + = + + y dy d x y y x y d x y 从而得到方程通解 x + y + y = C 2 2 4 ln . 6-1-3 高阶可降阶类型方程的求解 一般情况下,求解高阶方程更加困难.处理高阶方程的思路之一是设 法降低方程的阶.在这里,仅讨论二阶方程 y  = f (x, y, y ) 的几种右端函缺缺变量的情形进行讨论. (一) ( ) ( ) n y = f x 类型 可通过 n 次积分可以得到通解. 逐次积分得到方程通解变为 ( ) ( ) n n n x x n x t f t dt c x c x c n y − + + + + − = − − −  1 1 1 1 0 ( 1)! 1  (二) y  = f (x, y ) 类型 令 p(x) = y  , y  = p (x), 方程变成： p  = f (x, p) 这是一阶方程，有可能求解。 例 7: 设有单位质量的质点 Q, 受到沿 x 方向的力 P = Asin  t 的作用 沿 x 轴运动.及空气阻力与速度成正比，比例系数 k  0 ,其中 A, 为常 数. 如果 x(0) = 0, x (0) = 0 ,试求质点运动规律. 解:根据 Newton 第二定理,质点运动方程为 ( ) ( )      =  = = − + 0 0, 0 0 sin 2 2 x x A t dt dx k dt d x  解：这是 y  = f (x, y ) 型方程, 令 p(t) = x (t), 则方程变成：