第六章常微分方程 p+k p=Asin@t 0 这是一阶线性方程,两边同乘e ne")=4 le sin ot→(pe"2=「 Ae"sin otdr x()=e-"「Ae" sin tdt=f「Ae--") sin o udu Ae- k(t-u)sin oudu t=[dr[Ae-k(r-m)sin oudu 例8:解方程xy”=yhy 解:令p(x)=y,代入方程,则原方程化为:x=php 由此解出P=e",于是原方程的通解为y=/mh1+C (二)y”=f(y,y)类型 令P=p(y)= 少dy=中血=n中 dx dy 代入方程得 f(p, y) 于是得到一个关于未知函数P和自变量y的一阶方程 例9:解方程= 解:令p=p(y)=,4=中中=p中 dx dx 代入方程得到 1+p 2 pdp dy 两端积分得到h(1+p)=hy+hc.即,1+ 分离变量,将上式改写成 解此方程得通解:±二√ay-1=x+c化简得:-(cy-1)=(x+c) 例10:y”=( 第六章常微分方程第六章 常微分方程 第六章 常微分方程  ( )   =  + = 0 0 sin p p k p A  t , 这是一阶线性方程, 两边同乘 k t k dt e = e  , (pe ) Ae t kt kt = sin   ( )  = t kt t kt pe Ae t dt 0 0 sin  ( ) ( ) x t e Ae tdt Ae udu t k t u t k t kt   − − −  = = 0 0 sin  sin  ( ) ( ) ( )     − − − − =         = t k u t t k t u x t Ae udu dt d Ae udu 0 0 0 0 sin sin      例 8:解方程 x y  = y ln y  . 解:令 p(x) = y  , 代入方程,则原方程化为: p p dx dp x = ln 由此解出 c x p e 1 = ,于是原方程的通解为 2 1 1 1 e c c y pdx c x = = +  . (二) y  = f ( y, y ) 类型 令 p p y dy dx = ( ) = , 2 2 d y d x dp dy dy dx p dp dy = = , 代入方程得 p dp dy = f ( p, y) . 于是得到一个关于未知函数 p 和自变量 y 的一阶方程. 例 9:解方程 d y d x dy dx y 2 2 2 1 2 = + ( ) . 解:令 p p y dy dx = ( ) = , 2 2 d y d x dp dy dy dx p dp dy = = , 代入方程得到 p dp dy p y = 1+ 2 2 即 2 1 2 pdp p dy + y = . 两端积分得到 ln(1 ) ln ln 2 + p = y + c1 .即, 1 2 + ( ) = 1 dy dx c y 分离变量,将上式改写成 1  1 −1 = c y dx 解此方程得通解:  − = + 2 1 1 1 2 c c y x c 化简得: 4 1 1 2 1 2 2 c (c y − ) = (x+c ) 例 10: ( )2 3 2 y  = 1+ y 