《高等数学》上册教案 第五章定积分 第五章定积分 §1、定积分的概念与性质 一.引例 = 1.曲边梯形（如图）的面积 设曲线方程为y=fx,且fx)函数在区间[a,上 连续，f(x)≥0。讨论以下曲边梯形的面积。 1)分割：任取n-1个内分点：a=x<x2<x<<x。<x1=b,分割区间a,b]为n个小区 间，记x1一x,=Ax,其中Ar既代表第i个小区间也表示第i个小区间的长度；与此同时将曲 边梯形分割为n个小的曲边梯形： 2求和：（求曲边梯形而积的近似值）设△4表示第i个小曲边梯形的面积，则A-=△4，又 AM=G·i-2n:(5是上的任意-点).4-空42传A (3)取极限：记1=max△r,Ax,,Axn},若极限1im∑f传Ax,存在，称之为曲边梯形的面积， 即：A=m∑A4=f儿形A。 2.变速直线运动的质点的路程 设质点的速度函数v=),考虑从时刻α到时刻B所走过的路程。设)在[a,B]上连续， )≥0，仍然采用分割的方法。 ①分割：a=1<12<(3<<1n<1n1=B: ②求和：在时间间隔，4]内，质点的路程近似为：△，≈（传△1，其中5是，‘]内的任意 一点，，=-，则5=A*M ③取极限：记2=max4山，4山，△，当元→0时，和式(5)M的极限就是质，点从时刻a 到时刻B的路程，即5=m∑传，A%,· 注：以上两例分别讨论了几何量面积和物理量速度，尽管其背景不同，但是处理的方式是相 同的。采用的是化整为零、以直代曲、以不变代变、逐渐逼近的方式：共同点是：取决 第24项一共1页 基永安