张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月3日 1知识要素 1.1仿射量基本代数运算 11.1仿射量的逆 定义11(仿射量的逆).对Ⅴφ∈xin(Rm),如果彐ψ∈xin(Rm)满足 此处I=591891为单位仿射量,则称为仿射量更的逆,记作 y=更 当垂∈2m(1)满足是dp=dt()≠0,则称西非奇异按线性代数1!(mn) p),满足 故 为西的逆,式中()=() 1.1.2仿射量的转置 定义12(仿射量的转置),设更∈xin(m),则它的转置更*满足 更(u,0)=更(U,u),Vu,v∈Rn, 基于转置的定义,如果更=91②9则有 g;②9 显然对于对称仿射量,有更*=重张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 3 日 1 知识要素 1.1 仿射量基本代数运算 1.1.1 仿射量的逆 定义 1.1 (仿射量的逆). 对 ∀ Φ ∈ L in(R m), 如果 ∃ Ψ ∈ L in(R m) 满足 Φ · Ψ = Ψ · Φ = I, 此处 I = δ i j gi ⊗ g j 为单位仿射量, 则称 Ψ 为仿射量 Φ 的逆, 记作 Ψ = Φ −1 . 当 Φ ∈ L in(R m) 满足 det Φ = det ( Φ i ·j ) ̸= 0, 则称 Φ 非奇异. 按线性代数, ∃ ! ( Ψ p · q ) := ( Φ i ·j )−1 , 满足 ( Ψ i · k ) (Φ k · j ) = ( Φ i ·k ) (Ψ k · j ) = ( δ i j ) , 故 Ψ = Ψ p · qgp ⊗ g q 为 Φ 的逆, 式中 ( Ψ p · q ) = ( Φ i ·j )−1 . 1.1.2 仿射量的转置 定义 1.2 (仿射量的转置). 设 Φ ∈ L in(R m), 则它的转置 Φ ∗ 满足 Φ ∗ (u, v) = Φ(v,u), ∀u, v ∈ R m. 基于转置的定义, 如果 Φ = Φ ijgi ⊗ gj , 则有 Φ ∗ = Φ ijgj ⊗ gi = Φ jigi ⊗ gj . 显然对于对称仿射量, 有 Φ ∗ = Φ. 1