张量代数一仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 1.13仿射量的迹 定义13(仿射量的迹).仿射量的第一主不变量称为仿射量的迹,记作trΦ. 设仿射量更=91g,则根据主不变量的计算公式可得 更全1=6重;=重 性质11(仿射量迹的基本性质).设V重业∈xin(Rm),有 1.tr更=I:更 2.线性性 tr(a+)=atp+Bty业,la,B∈R; 3.tr(·业)=tr(业 证明可直接通过计算,证明仿射量迹的基本性质 1.I:更=(69289):(,19。89)=p=t更 2.根据性质(1)以及c点积的线性性,即有 tr(更+应)=I:(a重+)=aI:更+BI:重=atr更+tv )=重v ·更)=tr(v9k8g)= 16181=更y 即tr(重 仿射量的矩 定义1.4(仿射量的矩).仿射量更∈xin(Rm)的r次幂的迹称为仿射量的r阶矩,记作 t)=t(⑨… 重点积 由于更=更……更=的…:91⑧g3,因此有 I()=tr(更)=更 般地,第γ个主不变量是第1到r阶矩的函数 Ir(更)=fr(I1(重),I2() (重)张量分析讲稿谢锡麟 张量代数—仿射量代数运算及相关分解 谢锡麟 1.1.3 仿射量的迹 定义 1.3 (仿射量的迹). 仿射量的第一主不变量称为仿射量的迹, 记作 trΦ. 设仿射量 Φ = Φ i ·jgi ⊗ g j , 则根据主不变量的计算公式可得 trΦ , I1 = δ j i Φ i ·j = Φ i ·i 性质 1.1 (仿射量迹的基本性质). 设 ∀ Φ, Ψ ∈ L in(R m), 有 1. trΦ = I : Φ; 2. 线性性: tr(αΦ + βΨ) = αtrΦ + βtrΨ, ∀ α, β ∈ R; 3. tr(Φ · Ψ) = tr(Ψ · Φ) = Ψ ∗ : Φ. 证明 可直接通过计算, 证明仿射量迹的基本性质. 1. I : Φ = (δ j i g i ⊗ gj ) : (Φ s · tgs ⊗ g t ) = δ j i Φ i ·j = trΦ. 2. 根据性质 (1) 以及 e 点积的线性性, 即有 tr(αΦ + βΨ) = I : (αΦ + βΨ) = αI : Φ + βI : Ψ = αtrΦ + βtrΨ. 3. 有 tr(Φ · Ψ) = tr(Φ i ·jΨ j · kgi ⊗ g k ) = Φ i ·jΨ j · i , tr(Ψ · Φ) = tr(Ψ k · iΦ i ·jgk ⊗ g j ) = Ψ j · iΦ i ·j , Ψ ∗ : Φ = Ψ j · iΦ k · lδ i k δ l j = Φ i ·jΨ j · i . 即 tr(Φ · Ψ) = tr(Ψ · Φ) = Ψ ∗ : Φ. 1.1.4 仿射量的矩 定义 1.4 (仿射量的矩). 仿射量 Φ ∈ L in(R m) 的 r 次幂的迹称为仿射量的 r 阶矩, 记作 Ir = tr(Φ r ) = tr(Φ · · · · · Φ | {z } r重点积 ). 由于 Φ r = Φ · · · · · Φ = Φ i ·s1Φ s1 · s2 · · · Φ sr−1 · jgi ⊗ g j , 因此有 Ir(Φ) = tr(Φ r ) = Φ i ·s1Φ s1 · s2 · · · Φ sr−1 · i . 一般地, 第 r 个主不变量是第 1 到 r 阶矩的函数 Ir(Φ) = fr(I1(Φ), I2(Φ), · · · , Ir(Φ)). 2