2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 imnf(x)=1m1-sx=1mx=01m,/()=1mxg(x)=0(因为g(x)有界 x→02 因此lim∫(x)=f(0)=0,故∫(x)在x=0处连续。再考查x=0处的左右导数是否存在。 lim f(x)-f(0)= lim xg(x)=o im(x)-/(O)=1m1-x=lmn2=0 因此∫(0)与∫(0)均存在,且相等。于是f(x)在x=0处可导,且∫(0)=0, 谷案为①)。 3.1.2由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质1当f(x)在x处可导时,f(x)必然存在x处连续。 但必须注意到:f(x)在x处连续时,却不一定在x处可导 性质2设函数∫(x)连縷,且∫(O)>0,则存在δ>0,使得对任意的x∈(0,6)有 f(x)>f(0),对任意的x∈(-0,0)有f(x)<f(0)。 【证】由f(O0)=limf(x)-f(0) x-0>0,则由极限保序性可推断 存在δ>0,使当x∈(-06,0)或x∈(0,)时,f(x)-f(0)0 即f(x)-f(0)与x应保持同号,因此对任意的x∈(0,6)有∫(x)>f(0),对任意的 x∈(-o,0)有f(x)<f(0) 注:只由一点处的导数正负号,不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性 质 例35设f(O)存在,当x>0时,f(x)>f(O),且(O)<,若im(+ cos f(x) sIn x 则∫'(0)=()。 A)0。(B)1。()√2。⑩)√e。 【解】答案:C。由im(1+ 1-cos f(x )=e,可以知道当x→0时有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4网址:www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 0 2 lim 1 cos lim ( ) lim 2 0 0 0 = = − = → + → + → + x x x x f x x x x lim ( ) lim ( ) 0 (因为 有界) 2 0 0 = = → − → − f x x g x x x g(x) 因此lim ( ) (0) 0 ，故 在 0 = = → f x f x f (x) x = 0处连续。 再考查 x = 0处的左右导数是否存在。 lim ( ) 0 ( ) (0) lim 0 0 = = − → − → − xg x x f x f x x x f x f x ( ) (0) lim 0 − → + 0 2 lim 1 cos lim 3/ 2 2 0 0 = = ⋅ − = → + → + x x x x x x x 因此 f+ ′(0) 与 f _ ′(0) 均存在，且相等。于是 f (x) 在 x = 0处可导，且 f ′(0) = 0， 答案为(D)。 3．1．2 由函数在一点可导决定的函数局部性质 性质 1 当 f (x) 在 处可导时， 必然存在 处连续。 0 x f (x) 0 x 但必须注意到： f (x) 在 处连续时，却不一定在 处可导。 0 x 0 x 性质 2 设函数 f (x) 连续，且 f '(0) > 0 ，则存在 δ > 0 ，使得对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0) ，对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) < f (0)。 【证】由 0 0 ( ) (0) (0) lim 0 > − − ′ = → x f x f f x ，则由极限保序性可推断 存在δ > 0 ，使当 x ∈ (−δ ,0) 或 x ∈ (0,δ ) 时， 0 0 ( ) (0) > − − x f x f ， 即 f (x) − f (0) 与 x 应保持同号，因此对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0) ，对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) < f (0)。 注：只由一点处的导数正负号，不能决定函数的增减性。函数的增减性属于区间上或全局性 质。 例 3.5 设 f ′(0) 存在，当 x > 0 时， f (x) > f (0) ，且 f (0) <1,若 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 , 则 f ′(0) = （ ）。 (A) 0 。 (B) 1。 (C) 2 。 (D) e 。 【解】答案：C。由 e x f x x x = − + → 1 0 ) sin 1 cos ( ) lim(1 ，可以知道当 x → 0 时,有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805