2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 im1-01+1-os/(x)=1,lm1.1-eos/(x)=1 sIn x sInx 因为f(O)<1,则必有limf(x)=0=f(0), 于是Im1.1-cos/()21 f2(s (不可用洛必达法则!) 又因为f(0)存在,所以 f()P=limf(x),f(x)=2,得到f(0)=√2。 x→0 例36设f(x)在x=0点某邻域内可导,且当x≠0时f(x)≠0,已知f(0)=0,f(0)=2 求极限lim(1-2f( 【解】所求极限为“1”型,设法利用标准极限,并与导数∫(O)=2相联系。 lim(1-2f(x)sinr = lim(1-2f(r)3-2/() 由复合极限定理,只须考虑极限 im-2/(x)=im-2/(x).x sIn x sin x 由f(0)=0,f(0)=2存在,故上述极限可利用极限的乘法运算求得,即有 lim-2f(x)=-20150 x f(x)-f(0) ]·[in ]=-2f(0)=-4 sIn x 于是lim(1-2f(x)mx=e 注:利用导数定义求某些极限是一类重要题型,应熟悉导数定义的极限构造形式,并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论 3.2微分概念与相对变化率 32.1微分概念 由导数的等价性描述,我们已经知道可导函数f(x)在x处的增量 4(x0)=f(xo+△x)-f(x0)可以表示为 f(x0+△x)-f(x0)=f(x)Ax+a(△x)Ax 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 5网址:www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ) 1 sin 1 cos ( ) ln(1 1 lim 0 = − ⋅ + → x f x x x , 1 sin 1 1 cos ( ) lim 0 = − ⋅ → x f x x x 因为 f (0) <1，则必有lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → ， 于是 1 ( ) lim 2 1 sin 1 1 cos ( ) lim 2 2 0 0 = = − ⋅ → → x f x x f x x x x , (不可用洛必达法则！) 又因为 f ′(0) 存在, 所以 2 ( ) lim ( ) [ (0)] lim 0 0 2 ′ = ⋅ = → → x f x x f x f x x ，得到 f ′(0) = 2 。 例 3.6 设 f (x) 在 x = 0点某邻域内可导，且当 x ≠ 0 时 f (x) ≠ 0 ，已知 f (0) = 0, f ′(0) = 2， 求极限 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → 。 【解】所求极限为“ ”型，设法利用标准极限，并与导数 ∞ 1 f ′(0) = 2相联系。 x x f x sin 1 0 lim(1− 2 ( )) → x f x f x x f x sin 2 ( ) 2 ( ) 1 0 lim(1 2 ( )) − − ⋅ → = − 由复合极限定理，只须考虑极限 x x x f x x f x x x sin 2 ( ) lim sin 2 ( ) lim 0 0 ⋅ − = − → → 由 f (0) = 0, f ′(0) = 2存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有 ] sin ] [lim ( ) (0) 2[lim sin 2 ( ) lim 0 0 0 x x x f x f x f x x→ x→ x→ ⋅ − = − − = −2 f ′(0) = −4 于是 sin 4 1 0 lim(1 2 ( )) − → − f x = e x x 。 注：利用导数定义求某些极限是一类重要题型，应熟悉导数定义的极限构造形式，并注意利用 复合极限定理与已知重要极限的结论。 3.2 微分概念与相对变化率 3.2.1 微分概念 由导数的等价性描述，我们已经知道可导函数 f (x) 在 处的增量 0 x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ∆f x = f x + ∆x − f x 可以表示为 f (x + ∆x) − f (x ) = f ′(x )⋅∆x + (∆x)⋅∆x 0 0 0 α 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 5 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805