解:tanx-sinx=tanx(1-cosx)~x3(x→0), 2。n(1+a)dh 令=xt,则原式=lim 2In(1+x 二.(本题共24分,每小题6分) 1求矩阵A2-53 的秩 3-211 )(13-22) 231 0-18-7 00-2724 0000 所以rank(A)=3 2设矩阵AB满足AB=3A+B,其中A=012,求矩阵B; 02 解:可知(A-IB=3A,A-1=|0021,(A-D2=0012 020 0120 600 所以B=3(A-D)A=033/2 03/23 3设A是一个3×4的矩阵,rank(A)=2,方程组Ax=b有三个特解 x)=(1,-1,2,3)1,x2)=(2,-1,3,4) 3,2,1)2 求方程组Ax=b的通解 解:x2)-x0=(1,0,1,1)2,x3)-x①)=(0,-2,0-2)为齐次方程组Ax=0的基础解 系,所以Ax=b的通解为 x=(1,-1,2,3)+c1(1,0,1,1)+c2(0-2,02)(c1,c2为任意常数)2 解： tan x sin x  tan x(1 cos x) ～ ( 0) 2 1 x 3 x  ， 令 u  xt ，则 原式 4 0 0 2 2 ln(1 ) lim x u du x x     1 4 2ln(1 ) 2 lim 3 2 0      x x x x 。 二.（本题共 24 分，每小题 6 分） 1.求矩阵                      1 1 3 2 3 2 1 1 2 5 3 1 1 3 2 2 A 的秩; 解：                      1 1 3 2 3 2 1 1 2 5 3 1 1 3 2 2 A                    0 0 0 0 0 0 27 24 0 1 8 7 1 3 2 2 ， 所以 rank(A） 3。 2.设矩阵 A,B 满足 AB 3A  B ，其中            0 2 1 0 1 2 2 0 0 A ，求矩阵 B ; 解：可知 (A  I)B  3A ，             0 2 0 0 0 2 1 0 0 A I ，              0 1/2 0 0 0 1/2 1 0 0 (A I) 1 。 所以 B 3(A I) A 1              0 3/2 3 0 3 3/2 6 0 0 。 3.设 A 是一个 3 4 的矩阵， rank(A)  2 ，方程组 Ax  b 有三个特解 (1) T (2) T (3) T x  (1,1,2,3) , x  (2,1,3,4) , x  (1,3,2,1) , 求方程组 Ax  b 的通解。 解： (2) (1) T (3) (1) T x  x  (1,0,1,1) , x  x  (0, 2,0, 2) 为齐次方程组 Ax  0 的基础解 系，所以 Ax  b 的通解为 x    T (1, 1,2,3) T 2 T 1 c (1,0,1,1)  c (0, 2,0, 2) ( 1 2 c ,c 为任意常数)