5.若{xn}无界,且非无穷大量,则必存在两个子列x→∞,x→>a(a为有限数 6.有界数列{xn}若不收敛,则必存在两个子列xn→>a,xm→>b(a≠b) 7.求证:数列{an}有界的充要条件是,{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列 8.设∫(x)在[a,b]上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:f(x)在[a,b]上有 界 9.设f(x)在[a,b无界,求证:存在c∈[a,b],对任给d>0,函数f(x)在 (c-6,c+δ)n[a,b上无界. 10.设∫(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求证:limf(x),limf(x)存在 1l.设∫(x)在[a,b]上只有第一类间断点,定义 O(x)=f(x+0)-f(x-0) 求证:任意E>0,O(x)≥E的点x只有有限多个 12.设∫(x)在[0,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞) f(x)=a在[0,+∞)上只有有限个根或无根,求证:limf(x)存在 3实数的完备性 1,设∫(x)在(a,b)连续,求证:f(x)在(a,b)一致连续的充要条件是 limf(x)与limf(x)都存在, 2.求证数列x=1++“+当n→时的极限不存在 3.利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性: (1)xn=a0+a1q+a2q+…+anq"(qkl,|akM); sin1 sin 2 (2)xn=1+ (3)x=1-1++…+-y1 证明limf(x)存在的充要条件是:对任意给定E>0,存在δ>0,当5．若 { }n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列 , k k n m x x a →  → ( a 为有限数)． 6．有界数列 { }n x 若不收敛，则必存在两个子列 , ) k k n m x a x b b → → (  ． 7．求证：数列 { }n a 有界的充要条件是， { }n a 的任何子数列 { } k n a 都有收敛的子数列． 8．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证： f x( ) 在 [ , ] a b 上有 界． 9．设 f x( ) 在 [ , ] a b 无界，求证：存在 c a b [ , ] ，对任给   0 ，函数 f x( ) 在 ( , ) [ , ] c c a b − +    上无界． 10．设 f x( ) 是 ( , ) a b 上的凸函数，且有上界，求证： lim ( ), lim ( ) x a x b f x f x → → + − 存在． 11．设 f x( ) 在 [ , ] a b 上只有第一类间断点，定义 ( ) | ( 0) ( 0) |. x f x f x = + − − 求证：任意      0, ( ) x 的点 x 只有有限多个． 12．设 f x( ) 在 [0, ) + 上连续且有界，对任意 a  − + ( , ) ， f x a ( ) = 在 [0, ) + 上只有有限个根或无根，求证： lim ( ) x f x →+ 存在． 3 实数的完备性 1，设 f x( ) 在 ( , ) a b 连续，求证： f x( ) 在 ( , ) a b 一致连续的充要条件是 lim ( ) x a f x → + 与 lim ( ) x b f x → − 都存在， 2．求证数列 1 1 1 2 n x n = + + + 当 n → 时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 0 1 2 (| | 1,| | ); n n n k x a a q a q a q q a M = + + + +   (2) 2 sin1 sin 2 sin 1 ; 2 2 2 n n n x = + + + + (3) 1 1 11 1 ( 1) . 2 3 n n x n + = − + + + − 4 ．证明 0 lim ( ) x x f x → 存在的充要条件是：对任意给定   0 ，存在   0 ， 当