例2设x1>0,xn=1+ n=1,2,3,…证明数列{an}收敛,并求 极限 解n≥2时,1<xn<2.xn+-x x-X (1+xn)(+xn-1) →xn+1-xn xn-xn1同号,→{xn}单调 例3a>0,x>0.xm=1xn+a求mxn,(计算、a的逐次逼近 法,亦即迭代法 解由均值不等式,有xm2(+x/ a.→{xn}有下界 注意到对n有xn≥√a,有=/1+Q1(1=1.→x" 例4设a=1+1+1 (a≥2).证明数列{an}收敛 三个重要常数 180° 例5Ln=nsin=,证明数列{n}收敛.记该数列的极限为z.[l]Ps5E5 例6x.-(+1),证明数列{收敛起该数列的板限为ePB 例7b=1++1 3…+1-lnn,证明数列{bn}收敛.称该数列的极限为 Euler常数c,c=0.57721566490 []P9E9和E10留为阅读,并注意以后更一般地解法 数列收敛的充要条件— Cauchy收敛准则: chy列: 2. Cauchy收敛准则: Th2数列{an}收敛,台VE>0,N,m,n>N,→am-an|<E例 2 设 . , 3 , 2 , 1 , 1 1 ,0 1 1 = " + + +=> n x x xx n n n 证明数列{ }收敛, 并求 极限. an 解 n ≥ 2时, < xn < .21 nn n n nn nn xx xx xx xx −⇒ ++ − =− + − − + 1 1 1 1 , )1)(1( 与 − nn −1 xx 同号, }{ 单调.…… n ⇒ x 例 3 . 2 1 .0 ,0 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + +=>> n n n x a xxxa 求 n .lim ( 计算 n x ∞→ a 的逐次逼近 法, 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式, 有 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + += n n n x a xx 2 1 1 }{ . n n n xa x a x ⇒=⋅≥ 有下界; 注意到对 有 ∀n, ax , n ≥ 有 n n n n x a a x a x x .1 ) ( 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ⇒=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += + ↘···, lim ax . n n = ∞→ 例4 设 ). 2 ( , 1 3 1 2 1 1 ++++= α ≥ αα α n an " 证明数列{ }收敛. an 三个重要常数: 例5 n n nL D 180 = sin ，证明数列 收敛 Ln }{ . 记该数列的极限为π . [1]P55 E5. 例6 n n n x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 1 1 , 证明数列 收敛 }{ . 记该数列的极限为 . [1]P56 E6 n x e 例7 ,ln 1 3 1 2 1 1 n n bn " −++++= .证明数列 收敛 bn }{ . 称该数列的极限为 Euler 常数 cc = 90 664 215 577.0 , ". [1]P59 E9 和 E10 留为阅读，并注意以后更一般地解法。 二. 数列收敛的充要条件 —— Cauchy 收敛准则： 1. Cauchy 列： 2. Cauchy 收敛准则： Th 2 数列{ an }收敛， ε <−⇒>∀∃>∀⇔ ε. , , , ,0 aaNnmN nm 16