(或数列{an}收敛,分VE>0,N,Vn>N,vp∈N a<8 ih2又可叙述为:收敛列就是 Cauchy列(此处“就是”理解为“等价于”) (简证必要性 例8设0<q<1,xn= qing+qsin√q+…+q"sin《q.试证明数列 例9设xn=1+11 证明{xn}是 Cauchy列[ljP63E2 设 证明{xn}不是Cacl列.[]P63E2 压缩数列的收敛性 称数列{xn}是压缩数列是指:存在0<k<1,使对Ⅶn≥2,有 skI 压缩数列是收敛数列 []P65E2414 1)(2)(4),2,3,4,6 习题课(2时) 设lmx2n=limx 证明:lin 设lim(a1+a2+…+an)存在,证明:lim-(a1+2a2+…+mn)=0 月→2n 证设a1 Sn,则有∑知a=nSn-∑Sk,和 S,-S=S Sk+·注意利用均值极限定理, iSn=im∑S4,im=0,即得所证 a1+a,+…+a 数列{an}满足lim a(-0<a<+∞),证明:（ 或 数列{ an }收敛， ε <−⇒∈∀>∀∃>∀⇔ ε. ,p , , ,0 + npn NnN N aa } Th 2 又可叙述为：收敛列就是 Cauchy 列. (此处“就是”理解为“等价于”). ( 简证必要性 ) 例 8 设 sin ,10 sin .sin 2 n n n +=<< "++ qqqqqqxq 试证明数列 { }收敛. n x 例 9 设 . 1 3 1 2 1 1 22 2 n xn "++++= 证明 是}{ Cauchy 列. [1]P63 E12. n x 设 n xn 1 3 1 2 1 1 "++++= . 证明 不是 }{ Cauchy 列. [1]P63 E 2.4 n x 压缩数列的收敛性: 称数列 xn }{ 是压缩数列是指: 存在 < k < 10 , 使对∀n ≥ 2 , 有 |||| +1 − nn ≤ − nn −1 xxkxx . 压缩数列是收敛数列 . [1]P65 E 2.4.14. Ex [1]P67—68 1⑴⑵⑷，2，3，4，6 . 习 题 课 （ 2 时 ） 设 axx n n n n = + = ∞→ ∞→ 2 12 lim lim . 证明: axn n = ∞→ lim . 设 (lim ) 21 n n + + + aaa ∞→ " 存在, 证明: 2( 0) 1 lim 21 =+++ ∞→ n n naaa n " . 证 设 , + 21 +"+ = Saaa nn 则有 ∑ ∑ , 和 = − = −= n k n k nk SnSka k 1 1 1 n S S n SSS n Ska n n n k nn k n k n k n k k ⎟ +−= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ −= ∑ − ∑ =1 =1 =1 1 1 1 . 注意利用均值极限定理, ∑= ∞→ ∞→ = n k k n n n S n S 1 1 limlim , = 0lim∞→ n Sn n , 即得所证. 数列 an }{ 满足 lim ( ) 21 +∞<<∞−= +++ ∞→ aa n aaa n n " ，证明： 17