证设a1+a2+…+an=Sn,有一→>a,注意利用下式 S n n-1 n(n-1) n(n- n nn-l n→∞时,上式左端趋于零,右端第二项也趋于零,→→>0 例4设{xn}是无穷大量, lim y=b≠0.则{xnyn}和{}都是无穷大量 例5设x.=5.+2+ n=1,2,3,…证明数列{xn}收敛并求极限 证易见x>0 2+x.2+ {xn}是压缩的 例6设S是非空有上界的数集,SupS=agS.试证明在数集S中可取出严 格单调增加的数列{xn},使 lim x=a §3实数系基本定理简介(6时) 实数系连续性简介: 实数系:整数、有理数、有理数稠密但不是密接的; Hippasus发现 √2不是有理数,证明√2不是有理数;算术连续统假设及其破灭.实数系的建立 2.实数系连续性的直观描述: 实数系基本定理: 1.确界存在定理: 定义1最大数与最小数 定义2(上确界——最小上界) 定义2′(上确界——上界性与最小性)= 0lim∞→ n an n . 证 设 , + 21 +"+ = Saaa nn 有 a, n Sn → 注意利用下式: , 1 1 )1( )1( )1(1 )1( 1 1 1 1 1 − −= − −− = − −− = − −− = − − − − − − − n S nn a nn San nn aSna nn nSSnS n S n S nn nnn nnn nn n n n ∞→ 时，上式左端趋于零，右端第二项也趋于零， →⇒ 0 n an . 例 4 设 }{ 是无穷大量, n x lim = ≠ 0 ∞→ byn n . 则 yx nn }{ 和 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量. 例 5 设 , 3 , 2 , 1 , " 2 1 1 , 2 1 = + = + = n x xx n n .证明数列{ }收敛,并求极限. n x 证 易见 > 0 . n x 1 1 1 1 1 4 1 )2)(2(2 1 2 1 − − − − + −≤ ++ − = + − + =− nn n n nn n n nn xx xx xx xx xx }{ n ⇒ x 是压缩的. 例 6 设 S 是非空有上界的数集, sup = α ∉ SS . 试证明在数集 中可取出严 S 格单调增加的数列 xn }{ , 使 = α.lim∞→ n n x § 3 实数系基本定理简介( 6 时 ) 实数系连续性简介： 实数系：整数 、有理数 、有理数稠密但不是密接的；Hippasus 发现 2 不是有理数 ，证明 2 不是有理数 ；算术连续统假设及其破灭 . 实数系的建立 . 2. 实数系连续性的直观描述 ： 二. 实数系基本定理： 1. 确界存在定理 ： 定义 1 最大数与最小数 . 定义 2 （ 上确界—— 最小上界 ）. 定义 2′ （ 上确界—— 上界性与最小性 ） . 18