《数学分析(1,2,3)》教案 函数y=f(x)的二阶导数∫"(x)一般仍旧是x的函数。如果对它再求导数,如果导数存在的话,称之 为函数y=f(x)的三阶导数,记为y",f"(x),或y dx 函数y=f(x)的n-1阶导数的导数称为函数y=f(x)的n阶导数,记为y),fm,或“y Δ二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 从高阶导数的定义可知,求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法 例:求幂函数y=x”的各阶导数。 般地,任何首项系数为1的多项式:x”+a1x1+a2x”2+…+an的n阶导数为n,(n+1)阶导数 为零。 例: 例:y1=sinx,y2=cosx.,则y1)=(sinx)=sin(x+n);y2m=(cosx)")=cos(x+丌)。 高阶导数的计算法则 [(x)±v(x)”=(x)±y"(x) 2.(n))=uy0+Cl(n-y(+C2t(n-2)y(2) +clunk)y()+.+Cn-u(( n-d)+u(o)y(n) (n-k)(k) ( Leibniz公式) 其中 注将 Leibniz公式与二项式展开作一比较可见: (u+v)=u v+Cu-v+.cku-kyk +u°yn。(这里u°=p0=1),在形式上二者有相似 之处。 从定义出发,重复应用一阶导数法则,容易建立“复合函数”的高阶导数,“参数方程”的高阶导数 公式。但这些公式非常繁,对于求高阶导数没有多大帮助,因此不作深入讨论。 作为例子,我们指出参数方程求二阶导数的方法 设,W在a,月]上都是二阶可导,则由参数方程{所确定的函数的一阶导数中,则 y=(1) dx (o 24(a=a=面= ()q(1)-v()q"() Lo(o] dt 4-7《数学分析（1，2，3）》教案 4-7 函数 y = f (x) 的二阶导数 f ''(x) 一般仍旧是 x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之 为函数 y = f (x) 的三阶导数，记为 y''' ， f '''(x) ，或 3 3 dx d y 。 函数 y = f (x) 的 n −1 阶导数的导数称为函数 y = f (x) 的 n 阶导数，记为 (n) y ， (n) f ，或 n n dx d y 。  二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法。 例：求幂函数 n y = x 的各阶导数。 一般地，任何首项系数为 1 的多项式： n n n n x + a x + a x + + a 1 −1 2 −2  的 n 阶导数为 n!，(n +1) 阶导数 为零。 例： x y e − = 。 例： 1 y x = sin , ， 2 y x = cos . ，则 ( ) ( ) 1 (sin ) sin( ) 2 n n n y x x = = +  ； ( ) ( ) 2 (cos ) cos( ) 2 n n n y x x = = +  。 高阶导数的计算法则 1． ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) n n n u x v x u x v x  =  。 2． (uv) (n) = u (n) v (0) + Cn 1 u (n−1) v (1) + Cn 2 u (n−2) v (2) + ( ) ( ) n 1 (1) (n 1) (o) (n) n k n k k n + C u v + + C u v + u v −  − − = − = N K k n k k n C u v 0 ( ) ( ) ， （Leibniz 公式） 其中 u = u (0) ， v = v (0) 。 注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： k n k k o n n n n n n u + v = u v + C u v + C u v + + u v ( ) 0 1 −1 1  −  。（这里 1 0 0 u = v = ），在形式上二者有相似 之处。 从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数 公式。但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有多大帮助，因此不作深入讨论。 作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法。 设  ， 在[ ,  ]上都是二阶可导，则由参数方程    = = ( ) ( ) y t x t   所确定的函数的一阶导数 '( ) '( ) t t dx dy   = 。则 2 3 2 [ '( )] ''( ) '( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t dt dx dx dy dt d dx dt dx dy dt d dx dy dx d dx d y    −  = =  = =