收敛于=En+Em=Em+(-En)=0 ≠k时,收敛于f(x) u(o)cos ndt (E)coSntdt+- E cos ndt 0(n=0,1,2,…) b,=u(osin ndt =Em)sin ndt +-LEm sin ndt 2E 2E (-coSnr [-(-1)] 丌 nZc 4E (2k-1z,n=2k-1,k=1,2 n=2k.k=1 所求函数的傅氏展开式为 a()=∑4E Sn(2n-1)(-∞<t<+∞,t≠0,±丌,±2丌,…) 注意:对于非周期函数,如果函数f(x)只在区间[-r,x]上有定义,并且满足狄氏 充分条件,也可展开成傅氏级数 作法:周期延拓(T=2丌)F(x)=f(x)(-r,) 端点处收敛于=Lf(x-0)+f(-丌+0) 例2将函数f(x)= 展开为傅立叶级数 0≤x≤丌 解所给函数满足狄利克雷充分条件 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在[-x,x]收敛于f(x) f∫(x)dx f(x)dx+Lf(x)dx f(x)cos ndx f(x)cos ndx+-L f(x)cos ndx6 2 收敛于 − Em + Em 2 ( ) Em + −Em = = 0, 当x  k时, 收敛于f (x). − =    a u t ntdt n ( ) cos 1   = − + −     0 0 cos 1 ( ) cos 1 E ntdt E ntdt m m = 0 (n = 0,1,2, ) − =    b u t ntdt n ( )sin 1   = − + −     0 0 sin 1 ( )sin 1 E ntdt E ntdt m m (1 cos ) 2   n n Em = − [1 ( 1) ] 2 m n n E = − −       = = = − = = −   0, 2 , 1,2, , 2 1, 1,2, (2 1) 4 n k k n k k k Em  所求函数的傅氏展开式为   = − − = 1 sin( 2 1) (2 1) 4 ( ) n m n t n E u t  (−  t  +; t  0,  ,  2 , ) 注意: 对于非周期函数,如果函数 f (x) 只在区间 [− , ] 上有定义,并且满足狄氏 充分条件,也可展开成傅氏级数. 作法: 周期延拓(T = 2) F(x) = f (x) (−,) [ ( 0) ( 0)] 2 1 端点处收敛于 f  − + f − + ] 例 2 将函数      − −   =   x x x x f x , 0 , 0 ( ) 展开为傅立叶级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 [− , ] 收敛于 f (x) − =    a f (x)dx 1 0   = − + −     0 0 ( ) 1 ( ) 1 f x dx f x dx =  , − =    a f x nxdx n ( ) cos 1   = − + −     0 0 ( ) cos 1 ( ) cos 1 f x nxdx f x nxdx x y o − 2 −  2 