$82动态规划的基本概念和基本原理 7 初)的状态8k-1就已被个定.这就是说，sk-1随sk及%而变化.可以把这一关系看成是 1与态的函数关系记为 5k-1=g1(Sk:Tk) (8.1) 这一等式表示了某一阶段的状态 下一阶段状态转移的规律，称为状态转移方程有很多 问题，这种函数关系可以用数学解式表示.例如，对于例2有：k-1=一，S≥x 这给计算带。方便.有的问题，例如例1，这种函数关系很难用解析式表达，但这并不妨得 我们用动态规划方法.解决向题。 (五)优指 动态规划问题的求解就是寻求最优策略，即寻找最优的可行的决策序列.这就需要有 个指 ,用以已量一个策略的优劣，即已量一个可以在现的状态演变过优的优劣，这个 指南欧名优器在圆1中优劣指是从A至E的瑞线总长度，例2是3个项法数资的 决定于过优的最初状态 果斋直 接果，它是s 态的函数记为4(s,。例如例2中有： d4(s1,0)=481=0,1,2,3,4 d山(s3,2)=48,s3=4. 设最个过优从第n阶段新同，由第太阶段化=1,2叫)的状态开同至某一最 终状态的这一段过优，称为 k阶段状态s跳的都可过程（相应的决策序列称为s趾的都 可策略)。从例1例2的解题步骤可知，动态规划方法的每一阶段都要找出该阶段每一状 态的最优后部过怀（最优后部策路）。从第k阶段状态k开同的每一后部过优都可称全 过优那样，规定一个指 具有最优指的后部过优称为最代都可过程。其相应指记为 4(s).例如在例2中，2(3表示从第阶段（对B投资）的状态3（剩余资金为3万方 开同的最优后部过优的总益值。 ()指这推方程 例1 列2中，在计算各个阶段的最优后部过优指，时，都要利用上一阶段已， 最优后部品优指 ，:第大阶段在状专下可采用不同岛决宽每一决数事有修 一流的失黄又对将的过优进从第大一阶段时具有不同的所同 态例2，我们是这样计算第k阶段状态 的最优后部过优指为的： f(sk)=max/min{d(k,k)+fk-1(g(sk,k)lk∈X， k=1,2,m (8.2) f0(so)=0 如果用，)表示第k阶段在果取决策的条特下8的最优后部过优指为即 f(k,s)=d(sk,k)+fk-1(g1(sk,工k)》 §8.2 ú➋ü✏ý✡þ❈ò❖ó✁ô✁õ✁ö✁÷✁ó✁ô✁ø✁ù 7 ✮) ✓✁➇✚ sk−1 ✆➋✍❖ú●✔✡✛ ✜✁✆✡✦✡✫,sk−1 û sk ❤ xk ✑✡✵✁Ñ✡✛ ✗✡✷✡❜✡✜✡✧❩✡❑❆✡❞✡✦ sk−1 ➥ sk ✚ xk ✓✁ü✡Û❩✡❑, ✹✡☞ sk−1 = g1(sk, xk) (8.1) ✜Ó✧ÓÒ✢ýÓÙÓÚñ⑤Ó✧❘Ó❙✓✢➇✚ ✭×íÓ✧❘Ó❙➇ ✚❸Ó❹Ó✓❻✢þ, ✘ ☞ÿ➄t✢î✢ï✢ð✢➻Ó✛ ✲❝ ❦ ❁Ó❂, ✜Ó⑥✢üÓÛ❩Ó❑✗Ó✷Ó③ÓÛÓ➀✡❥✁￾✁ý✡ÙÓÚ✡✛ ÿ✡❴, ✏Ó④Óÿ 2 ✲: sk−1 = sk − xk, sk ≥ xk ✛ ✜✁➉✡ô✡➇✄✂✁✛✇ ❧✡✛ ✲✡✓✡❁✡❂, ÿ✡❴✡ÿ 1, ✜✡⑥✁ü✡Û❩✡❑✁❝➝✡③✡❥✄￾✁ý✡Ùð , ➁✡✜✡➂✡❼✄☎✄✆ ❱✡❲✡③✡⑧✚✡❻❈✇✡②✛✡❥✡✳✡❁✡❂✡✛ (✝)❙✟✞✄✠✄✡✄☛ ⑧✚Ó❻❈Ó❁Ó❂Ó✓Ó✹Ó❥✢✆Ó✦✡✸Ó✹✡✻✡✼Ó✴✡♥, ❷Ó✸ÓqÓ✻Ó✼Ó✓Ó✗æ ✓Ó✳Ó✴Ó❡✡❢Ó✛ ✜✢✆✡⑩Ó❖✡✲ ✧ ● ⑨✌☞, ③✰✷✌✍✰✶✰✧● ✴✰♥✰✓✰✼✌✎, ❷✌✍✰✶✰✧● ✗✰✷ ☛✰✠✓✝➇✚ Ó✰✵✰✒✝✼✰✓✰✼✌✎, ✜ ● ⑨✄☞✡✘☞ ✞✄✠✄✡✄☛✡✛ ÿ 1 ♦✏✼✄✎✡⑨✄☞✡✦✡❃ A ã E ✓✡➱✡➮❸õ✡ö, ÿ 2 ✦ 3 ●✁①③②⑤⑦s✡✓ ❸❡✁⑩✽, ✼✄✎✡⑨✄☞✡✳✁✔✡④✡✒✁✼✡✓✡✻✁✮✁➇✚ ✚✡➆❘✡❙✱✄✏✁➁✡✓✡✳✡✴, ❷✁✂✡✦✁✮✁✬✁➇✚ ✚✡✳ ✴Ó❡Ó❢Ó✓✢üÓÛÓ✛➼✑☛➆ ●Ó❘Ó❙, ☛Ó◗✧✢➇✚íÓ✱❚Ó❯ ✓◗ ✧✡✳Ó✴✡✖✡✲Ó✧●✁✑✄✒✁❸❡ ❛Ó✓✡ï ✣ ❡ ❛, ✂✡✦ sk ✚ xk ✓✁ü✡Û, ✹✡☞ dk(sk, xk)✛✢ÿ✡❴✡ÿ 2 ♦✏✲: d1(s1, 0) = 48, s1 = 0, 1, 2, 3, 4; d3(s3, 2) = 48, s3 = 4. ❮ ✻✰●✒✝✼✰❃✰Ñ n ❘✰❙✫✝✬✰✛❖✪rÑ k ❘✰❙ (k = 1,2,. . .,n) ✓✝➇✚ sk ✫✝✬✰ã✰⑤✰✧✰✻ è✝➇✚ ✓✰✜✰✧❙ ✒✝✼, ✘ ☞✔✓ k ▲✰◆➄ t sk ✕✌✖✌✗➺✝➻(❍➯✰✓✰✳✰✴✰❡✰❢✰✘☞ sk ✕✌✖ ✗❭✡❣)✛ ❃✡ÿ 1❙ ÿ 2 ✓✡❥✡❂✡➛✡➜✡✗✁✸, ⑧✚✡❻❈✇✡②✓◗ ✧❘✡❙✖✡❖✡q❯ ❪ ❘✡❙✡◗✧✁➇ ✚ ✓✰✻✰✼✰➨✝✎✰✒✝✼ (✻✰✼✰➨✝✎✰✴✰♥)✛ ❃✰Ñ k ❘✰❙➇ ✚ sk ✫✝✬✰✓◗ ✧✰➨✝✎✰✒✝✼✰✖✰✗✌✘ä ✒✁✼✡❤✡❀, ❻ ✔✡✧● ⑨✄☞, ➣ ✲✡✻✡✼✡⑨✄☞✡✓✡➨✁✎✡✒✁✼✡✘☞✚✙✞✖✄✗➺✁➻✡✛ ➫✡❍➯✡⑨✄☞✹✡☞ fk(sk)✛ ÿ✡❴☛ ÿ 2 ♦,f2(3) Ù✡Ú✡❃✡Ñ 2 ❘✡❙ (✏ B ⑦ s) ✓✁➇✚ 3(❺✁➂✁s✁t☞ 3 ✉✁✈✁✇) ✫✁✬✡✓✡✻✡✼✡➨✁✎✡✒✁✼✡✓❸❡✁⑩✽✡✛ (✛)❙✟✡✄☛✄✜✄✢✁ð✁➻ ÿ 1❙✢ÿ 2 ♦, ☛ô✡➇✡➆●✡❘✡❙✓✡✻✡✼✡➨✝✎✰✒✝✼✡⑨✌☞✭ , ✖✡❖✁★✡③❅✧❘✡❙ ✍❚ ✟ ✓ ✻✡✼✡➨✁✎✡✒✁✼✡⑨✄☞✡✛✢Ñ k ❘✡❙✡☛➇ ✚ sk í✡✗✄✏✡③✡❼✡✬✡✓✡✳✡✴, ◗ ✧✡✳✡✴✡✖✡✲✡✧●✄✑✄✒③② ☞✡✓✡ï✁✣✡⑨✄☞ dk(sk, xk); ❼✡✬✡✓✡✳✡✴✄✣❇❢ ❚✡✒✁✼å ❃✡Ñ k − 1 ❘✡❙✭ , ➣ ✲✡❼✡✬✡✓✁✫✁✬ ➇ ✚ (➆Ó✲Ó❼Ó✬Ó✓Ó✻Ó✼Ó➨✢✎Ó✒✁✼Ó⑨✄☞)✛ ✏Ó④✡ÿ 1 ✚Óÿ 2, ❱Ó❲Ó✦Ó✜Ó❀ÓôÓ➇ÓÑ k ❘Ó❙➇ ✚ sk ✓✡✻✡✼✡➨✁✎✡✒✁✼✡⑨✄☞✡✓: fk(sk) = max/min{dk(sk, xk) + fk−1(g1(sk, xk))|xk ∈ Xk}, k = 1, 2, . . . , n; f0(s0) = 0    (8.2) ❴✡❛✡③ fk(sk, xk) Ù✡Ú✡Ñ k ❘✡❙✡☛✏✁➁✡✳✡✴ xk ✓✡â✄✤✡í sk ✓✡✻✡✼✡➨✁✎✡✒✁✼✡⑨✄☞, ❷ fk(sk, xk) = dk(sk, xk) + fk−1(g1(sk, xk))