8 第八章动态规划 则式(8.2)可写为： f(sk)=max/min{fu(sx,rk)EX),k =1.2.....n; f(sk,工k)=d(sk,k)+f-1(g1(sk,工k)月 (8.3) fo(so)=0. 以例2中儿个具体数字为例（参见表8-3）： f2(3,0)=d2(3,0)+1(3-0)=40+78=118 f2(3.1)=d2(3.1)+f(3-1)=42+68=110 f2(3,2)=d2(3,2)+3-2)=50+64=114. f26,3)=d42(3,3)+3-3)=60+48=108 2(3)=max{f2(3.0,f(3,1),f2(3,2).f2(3,3)} =max{118,110,114.108}=118. 式（⑧.2）或（⑧3）称为指标递推方程也称为动态规划的基本方程.只有建立了这个 递推关系才能对一个问题从第一阶段开始逐段进行计算，最终找到全过程的最优解。 这里需要指出，f(k,)可以定义为d4(5k,)和-1(1(sk,》的函数 f(sk,x)=2(d4(sk,工k),fk-1(1(sk,x4)》 (8.4)】 函数2要求能够写出数学表达式，但并不一定是式(83)中相加的形式，例如可以为 f(sk,)=d(sk,x)·fk-1(g1(sk,x》 显然此时还需规定f(s0)=1, 二、动态规划基本原理 建立指标递推方程的基础，在例1中已作介绍.更为一般的表述则是关国Bellman首 先提出的最优化原理： “作为整个过程的最优策略具有这样的性质即无论过去的状态和决策如何，对前面 的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略 根据这个原理和具体向题指标计算的特点，可列出相邻两阶段的指标递推方程.最优 化原理中包含着对所定义的状态的特殊要求.这个要求就是动态规划问题中的状态一定 要具备“无后效性”。所谓“无后效性”，指的是在状态转移过程中，一旦达到某一阶段的某 一状态，以后过程的发展仅仅取决于这一时刻的状态.而与这一时刻以前的状态和决策无 关.例1中，只要第1阶段的初始状态是D2,那么不管前面3个阶段的决策如何，即不管 各阶段是经过什么状态而达到D2的，都不影响从状态D2出发的最优策略（铺设D2至 E的铁路).例2中，第1阶段，只要剩余的投资额为1，那么这1百万元无论是向A投资 3向B投资0剩下的.不是向A投资2向B投资1下的.等待.都不影响在这一状态 下对C的最优策略（投资1百万元）。这个原则是建立动态规划模型的基本要求，十分重 要。如果规定的状态只能描述过程而不具备无后效性，就不是动态规划意义下的状态，即 不能据以建立动态规划镇羽.例1，例2状态的无后效性是十分明显的 个实际问题建立动态规划模型，可归纳为以下儿个步骤：8 ÷✡ø✡ùûú➋ü✏ý✡þ Õ✁ý (8.2) ✗✄✥☞ : fk(sk) = max/min{fk(sk, xk)|xk ∈ Xk}, k = 1, 2, . . . , n; fk(sk, xk) = dk(sk, xk) + fk−1(g1(sk, xk)); f0(s0) = 0.    (8.3) ✷✡ÿ 2 ♦➩●✡➣✡↔Û✡Ü☞ ÿ (✦✁❁✡Ù 8–3): f2(3, 0) = d2(3, 0) + f1(3 − 0) = 40 + 78 = 118, f2(3, 1) = d2(3, 1) + f1(3 − 1) = 42 + 68 = 110, f2(3, 2) = d2(3, 2) + f1(3 − 2) = 50 + 64 = 114, f2(3, 3) = d2(3, 3) + f1(3 − 3) = 60 + 48 = 108, f2(3) = max{f2(3, 0), f2(3, 1), f2(3, 2), f2(3, 3)} = max{118, 110, 114, 108} = 118. ý (8.2) ✩ (8.3) ✘ ☞ ✡✄☛✄✜✄✢✁ð✁➻, ✾✡✘☞ s✡t✉✡✈✕✄✧✄★ð✁➻✄✩☎✵✄✪✄✫✄✬✄✭✄✮✄✯ ✰✄✱✄✲✄✳, ✴✄✵✄✶✄✷✄✯✄✸✄✹✄✺✄✻✄✷✄✼✄✽✄✾✄✿✄❀✄✽✄❁✄❂✄❃✄❄, ❅✄❆✄❇✄❈✄❉✄❊✄❋✄●✄❅✄❍✄■✄✩ ✮✄❏✄❑✄▲✄▼✄◆,fk(sk, xk) ❖✄P✄◗✄❘✄❙ dk(sk, xk) ❚ fk−1(g1(sk, xk)) ●✄❯✄❱: fk(sk, xk) = g2(dk(sk, xk), fk−1(g1(sk, xk))) (8.4) ❯✄❱ g2 ▲✄❲✄✵✄❳✄❨✄◆✄❱✄❩✄❬✄❭✄❪, ❫✄❴✄❵✄✷✄◗✄❛✄❪ (8.3) ❜❞❝✄❡✄●✄❢✄❪, ❣✄❤✄❖✄P✄❙ fk(sk, xk) = dk(sk, xk) · fk−1(g1(sk, xk)) ✐✄❥, ❦✄❧✄♠✄❑✄♥✄◗ f0(s0) = 1✩♦q♣❞rqsqtq✉q✈q✇q①q② ✫✁✬✁▼✁③✰✁✱✁④❋✁●✁⑤✄⑥, ⑦✁❣ 1 ❜✁⑧⑩⑨✁❶✁❷✁✩❹❸✁❙✁✷✁❺✁●✁❬✄❻✄❼✁❛✄❽✁❾ Bellman ❿ ➀✄➁◆✄●➃➂✄➄✄➅✄➆✄➇: “⑨✌❙✌➈✌✯✌❊✌❋✌●✌❅✌❍✌➉✌➊✌➋✌✪✌✮✌➌✌●✌➍✌➎: ➏✌➐✌➑✌❊✌➒✌●✌➓✌➔✌❚✌→✌➉✌❤✌➣, ✶✌↔✌↕ ●✄→✄➉✄➙✄❢✄➛✄●✄➓✄➔✄➜✄➝, ➞✄➟✄●✄➠✄→✄➉✄➡✄➢✄➤✄➛✄❅✄❍✄➉✄➊✄✩ ” ➥✁➦✮✁✯✁➧✁➨✁❚✁➋✁➩✁✸✁✹✄▼✁③✄❃✁❄✄●✁➫✄➭, ❖✁➯✁◆✁❝✁➲✁➳✁✼✁✽✁●✁▼✁③✰✁✱✄④❋✁✩➵❅✄❍ ➸➧✄➨➺❜❞➻✄➼✄➽✄✶✄➙✄◗✄❘✌●✌➓✄➔✌●✌➫✄➾✌▲✄❲✌✩✟✮✌✯✌▲✄❲✌➚✄❛✌➪✌➔✄♥✌➶✌✸✄✹➹❜❞●✌➓✌➔✄✷✌◗ ▲✄➋✄➘ “➴✄➷✄➬✄➮”✩➱➙✄✃ “➴✄➷✄➬✄➮”, ▼✄●✄❛✄⑦✄➓✄➔✄❐✄❒✄❊✄❋➺❜, ✷✄❮✄❭✄❈✄❰✄✷✄✼✄✽✄●✄❰ ✷✄➓✄➔, P✄Ï✄❊✄❋✄●✄Ð✄Ñ✄Ò✄Ò✄Ó✄→✄Ô✄✮✄✷✄❧✄Õ✄●✄➓✄➔, ➜✄Ö✄✮✄✷✄❧✄Õ✄P✄↔✄●✄➓✄➔✄❚✄→✄➉✄➐ ✲ ✩×❣ 1 ❜, Ø✄▲✄✻ 1 ✼✄✽✄●✄Ù✄✿✄➓✄➔✄❛ D2, Ú✄Û✄❵✄Ü✄↔✄↕ 3 ✯✄✼✄✽✄●✄→✄➉✄❤✄➣, ➏✄❵✄Ü Ý✼✌✽✌❛✌Þ✌❊✌ß✌Û✌➓✌➔✌➜✌❭✌❈ D2 ●, à✌❵✌á✌â✌✺✌➓✌➔ D2 ◆✌Ð✌●✌❅✌❍✌➉✌➊ (ã✌ä D2 å E ●✄æ✄ç)✩×❣ 2 ❜, ✻ 1 ✼✄✽, Ø✄▲✄è✄➞✄●✄é✄ê✄ë✄❙ 1, Ú✄Û✄✮ 1 ì✄í✄î✄➐✄➑✄❛➺ï A é✄ê 3 ï B é✄ê 0 è✄➟✄●, ♠✄❛➺ï A é✄ê 2 ï B é✄ê 1 è✄➟✄●, ð✄ñ, à✄❵✄á✄â✄⑦✄✮✄✷✄➓✄➔ ➟✌✶ C ●✌❅✌❍✌➉✌➊ (é✌ê 1 ì✌í✌î)ò✟✮✌✯✌➧✌❼✌❛✌✫✌✬✌➪✌➔✌♥✌➶✌ó✌ô✌●✌⑤✌õ✌▲✌❲, ö✌÷✌ø ▲✄ò✟❤✄ù✄♥✄◗✄●✄➓✄➔✄Ø✄✵✄ú✄❻✄❊✄❋✄➜✌❵✄➋✄➘✌➐✄Ï✌û✄➍, ➚✄❵✄❛✄➪✄➔✄♥✄➶✄ü✄❘✄➟✄●✄➓✄➔, ➏ ❵✄✵➦ P✄✫✄✬✄➪✄➔✄♥✄➶✄ó✄ô✄ò✟❣ 1, ❣ 2 ➓✄➔✄●✄➐✄Ï✄û✄➍✄❛✄ö✄÷➺ý✐ ●✄ò ✶✄✷✄✯✄þ✄ÿ✄✸✄✹✄✫✄✬✄➪✄➔✄♥✄➶✄ó✄ô, ❖✁￾✁✂✄❙✄P✄➟✁✄✄✯✁☎✁✆: