114 冻 31卷 式中：函数(r)、(r)和，D=1,2,34)分 别是下列三个子问题的解， 2.1函数中(r)的求解 函数u(r)(=1,2,34)分别是下列与原问题 有相同定义域，在=R处有一非齐次边界条件的 稳态热传导问题的解 0学)=0 Ri<R j=1,2,3.4 (9) 具有边界条件 y学+an-1D=0r=R:10) 图】寒区含隔热层圆形陵道 Fig.1 Cross-section of a cirolar tunnel n=a,为坠=e2r=: in cold region with an insulation laver r=R3(12) x李+a(T-T0)=0 r=R4(13) r=Ri, >0 (2) =0.r=Rs (14) 1=,k安=k 对微分方程(9)进行求解将=入=入， r=R2. >0 (3) =,M=y代入结果可得： 万=为等= ++是 9n(r)=1 r=R3, t>0 (4) +nRR+是+h (15) r=R4,t>0 ⊙ Iningn ga T=T04.r=R5.>0 (6) (r)= 式中：a为空气与围岩的对流换热系数：T()为隧 +nR++h 道内的气温：T:为用岩外边界处的温度 (16) 初始条件为： T=T0. R<r<R n元+n是 a(r)= 1=0 j=1,2.3,4 +h+知+h是 式中：Ty=1,23.4)分别是一次衬砌、隔热层、 二次衬砌及围岩的初始温度. (17) 2问题的求解 p(r)= 上述数学模型是一个非齐次边界条件的非稳态 +++ 热传导问题，为了求解该问题必须对边界条件及 (18) 微分方程进行处理将其分解城下面简单的3个问 式中：入、入和分别为混凝土、隔热层和围岩的 题，前两个问题易于求解.后一个问题的求解要复 导热系数， 杂一些，需要用到计算机数值分析来辅助求解。 具 2.2函数(r)的求解 体形式如下： 函数9(r)=1,23,4)分别是下列与原问题 T;(r.1)=(r)T(1)+(r)To+(r.t) 有相同定义域，在=R处有一非齐次边界条件的 B不t下R出fa Aca0 Joua e3348 blish稳态热传导问腰的解：-served.hitp小www.cnki.net图 1 寒区含隔热层圆形隧道 Fig .1 C ross-section of a cir cular tunnel in cold r egio n with an insulatio n layer λ1 T1 r +α(T1 -T(t))=0 r =R1 , t >0 (2) T1 =T2 , λ1 T1 r =λ2 T2 r r =R2 , t >0 (3) T2 =T3 , λ2 T2 r =λ3 T3 r r =R3 , t >0 (4) T3 =T4 , λ3 T3 r =λ4 T4 r r =R4 , t >0 (5) T4 =T04 , r =R5 , t >0 (6) 式中 :α为空气与围岩的对流换热系数;T(t)为隧 道内的气温;T04 为围岩外边界处的温度. 初始条件为 : Tj =T0 j , R j <r <R j+1 , t =0 j =1 , 2 , 3 , 4 (7) 式中 :T0j(j =1 , 2 , 3 , 4)分别是一次衬砌、 隔热层 、 二次衬砌及围岩的初始温度. 2 问题的求解 上述数学模型是一个非齐次边界条件的非稳态 热传导问题 , 为了求解该问题, 必须对边界条件及 微分方程进行处理, 将其分解成下面简单的 3 个问 题.前两个问题易于求解 , 后一个问题的求解要复 杂一些 , 需要用到计算机数值分析来辅助求解 .具 体形式如下: Tj(r, t)= j(r)T(t)+φj(r)T04 +θj(r, t) R j <r <Rj +1 , t >0 j =1 , 2 , 3 , 4 (8) 式中:函数 j(r)、φj(r)和 θj(r , t)(j =1 , 2 , 3 , 4)分 别是下列三个子问题的解. 2 .1 函数 j(r)的求解 函数 j(r)(j =1 , 2 , 3 , 4)分别是下列与原问题 有相同定义域 , 在 r =R1 处有一非齐次边界条件的 稳态热传导问题的解: λj cj 1 r r (r j r )=0 Rj <r <Rj+1 j =1 , 2 , 3 , 4 (9) 具有边界条件 : λj 1 r +α( 1 -1)=0 , r =R1 (10) 1 = 2 , λ1 1 r =λ2 2 r , r =R 2(11) 2 = 3 , λ2 2 r =λ3 3 r , r =R 3(12) 3 = 4 , λ3 3 r =λ4 4 r , r =R 4(13) 4 =0 , r =R5 (14) 对微分方程(9)进行求解, 将 λ1 =λ3 =λc , λ2 =λi , λ4 =λf 代入结果可得 : 1(r)= ln R3 r R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 (15) 2(r)= ln R3 R4 +λc λi ln r R 3 +λc λf ln R 4 R 5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 (16) 3(r)= ln r R 4 + λc λf ln R4 R5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 +λc λi ln R2 R3 +λc λf ln R4 R5 (17) 4(r)= λc λf ln r R 5 λc αR 1 +ln R 1R3 R 2R4 + λc λi ln R2 R3 + λc λf ln R4 R5 (18) 式中:λc 、 λi 和 λf 分别为混凝土、 隔热层和围岩的 导热系数. 2 .2 函数 φj(r)的求解 函数 φj(r)(j =1 , 2 , 3 , 4)分别是下列与原问题 有相同定义域 , 在 r =R5 处有一非齐次边界条件的 稳态热传导问题的解: 114 冰 川 冻 土 31 卷