教学内容 反函数的导数 定理 如果函数x=9()在某区间J内单调、可导且q(y)≠0, 那末它的反函数y=f(x)在对应区间l2内也可导,且有 f(x)= 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 证:任取x∈l2给x以增量Ax(△x≠0,x+△x∈l2) 由y=f(x)的单调性可知△y≠0, 于是有少_1 f(x)连续,4y→0(x→0)又知q(y)≠0 即f(x)= ax→0Ax4→0Ax(y) o() 例1求函数y= arcsin x的导数 解:∵x=sny在1∈(-,内单调、可导,且(sny)y=cosy>0, 在l1∈(-11)内有 (arcs x= sin y) cos y√-sin2y 同理可得( arccos x)y= (arctan x) 1+x2,(arc cot x)'=_I 1+x 例2求函数y= log. x的导数 解::x=a在l,∈(-∞,+∞)内单调、可导,且(a)=aha≠0, 在,∈(0,+∞)内有2 教 学 内 容 一、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 , x f x y f x I x y I y x y      = = =   那末它的反函数 在对应区间 内也可导 且有 如果函数 在某区间 内单调、可导且 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 证： , x 任取xI 给x以增量x ( 0, ) x x  x + xI 由y = f (x)的单调性可知 y  0, 于是有 , 1 y x x y   =    f (x)连续, y → 0 (x → 0), 又知(y)  0 x y f x x     =  →0 ( ) lim y y x   =  → 1 lim 0 ( ) 1  y = . ( ) 1 ( ) y f x  即  = 例 1 求函数 y = arcsin x的导数. 解： ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导    x = y I y  − 且 (sin y) = cos y  0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin )   = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = 同理可得 . 1 1 (arccos ) 2 x x −  = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x +  = . 1 1 ( cot ) 2 x arc x +  = − 例 2 求函数 y log x的导数. = a 解： = 在 (−,+)内单调、可导, y y x a I (a ) = a ln a  0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I