(a)aIna xh a 特别地(血x)1 二、复合函数的求导法则 定理 如果函数u=(x)在点x可导,而y=f()在点u=0(x)可 导,则复合函数y=[(x)在点x可导,且其导数为 t/≈n=f(l0),(x0) 即:因变量对自变量求导等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求 导(链式法则) 证:由y=f(u)在点L可导,∴m~=fV4) 故Ay=f(x)+a(hma=0)则Ay=f(an)△M+a△M lin My=lim [(uo)+a]=f(uo)lim 4u △t△t +lm a lim △x→0△x f(uoo(xo) 推广: iy=f(u),u=o(v), v=y(x) 则复合函数y=f{v(x)}的导数为 dy dy du d dx du dy dx 例3求函数y=hsnx的导数 解: u. u=SIn x dydy du CoS x COSx= dx du dx u 例4求函数y=(x2+1)0的导数 解:a=10(x2+1)°(x2+1y=10x2+19.2x=20x(x2+1) 例5求函数y=2 的导数3 ( ) 1 (log )   = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 特别地 . 1 (ln ) x x  = 二、复合函数的求导法则 定理 ( ) ( ). , [ ( )] , ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 f u x dx dy y f x x u x x y f u u x x x     =    = = = = = 导 则复合函数 在点 可导 且其导数为 如果函数 在点 可导 而 在点 可 即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求 导.(链式法则) 证： ( ) , 由y = f u 在点u0可导 lim ( ) 0 0 f u u y u =      → ( ) (lim 0) 0 =  0 + =    →   u f u u y 故 则y = f (u0 )u +u x y x     →0 lim lim [ ( ) ] 0 0 x u x u f u x   +   =   →  x u x u f u x x x   +   =   →0  →0  →0 0 ( ) lim lim  lim ( ) ( ). 0 0 = f  u  x 推广： 设 y = f (u), u =(v), v =(x), . { [ ( )]} dx dv dv du du dy dx dy y f x =   则复合函数 =   的导数为 例 3 求函数 y = ln sin x的导数. 解： y = ln u, u = sin x. dx du du dy dx dy  =  x u cos 1 =  x x sin cos = = cot x 例 4 ( 1) . 求函数 y = x 2 + 10 的导数 解： 10( 1) ( 1) 2 9 2 = x +  x +  dx dy 10(x 1) 2x 2 9 = +  20 ( 1) . 2 9 = x x + 例 5 arcsin . 2 2 2 求函数 2 2 的导数 a a x a x x y = − +