E(X-C)-(EX-C)<E(X-C) (6)切比谢夫不等式 P{X-E(X)E}≤ D(X) Ve>0 或者 P(X-E(XKE>1 D(X) 证明:设X~p(x) 考察:x-E(X)P p(x),1<|x-E(X)P p(x) RIX-E(X2E plx)dx (x-E(X)2 E(XP(x)dx D(X) 证毕 令E=4√D(X),则有 D(X)15 PX-E(x)k4√D(x)21-16D(x)1609375 例3.18:设X~B(10000.5),估计:P{400<X<600} 50.5 k! 由X~B(1000,0.5) D(X)=mp(1-p)=250 P{400<X<600}=P{-100<X-E(X)<100} =PX-E(X)k100≥1D(X)=11000.975 100 矩 定义34:X的k阶原点矩定义为:= 2 2 E(X − C) − (EX − C) 2 ≤ E(X − C) (6) 切比谢夫不等式： , 0 ( ) {| ( ) | } 2 − ≥ ≤ ∀ε > ε ε D X P X E X 或者 2 ( ) {| ( ) | } 1 ε ε D X P X − E X < ≥ − 证明： 设 X～p(x) 考察： | x − E(X ) |≥ ε , ε > 0 ( ) | ( ) | ( ) 1 2 2 2 p x x E X p x ε − ⋅ ≤ P X E X p x dx x E X {| ( ) | } ( ) | ( )| ∫ − ≥ − ≥ = ε ε ≤ p x dx x E X x E X ( ) ( ( )) 2 2 | ( )| ε ε − ∫ − ≥ (x E(X )) p(x) dx 1 2 2 ≤ − ∫ +∞ −∞ ε = 2 ( ) ε D X 证毕。 令ε = 4 D(X ) ，则有 P{| X − E(X ) |< 4 D(X )} 0.9375 16 15 16 ( ) ( ) ≥ 1− = = D X D X 例 3.18：设 X～B(1000,0.5) ，估计： P{400 < X < 600} 解： P{400< X < 600}= = k k k k C − = ∑ 1000 599 401 10000.5 0.5 500 599 401 ! 500 − = ∑ e k k k 由 X～B(1000,0.5) E(X ) = np = 500 D(X ) = np(1− p) = 250 P{400 < X < 600} = P{−100 < X − E(X ) < 100 } = 0.975 100 250 1 100 ( ) {| ( ) | 100 1 2 2 − < ≥ − = − = D X P X E X 三． 矩 定义 3.4 ：X 的 k 阶原点矩定义为：