ak=E(X ), k X的k阶中心矩定义为 H4=E(X-EX),k=1,2…,n 显然:a1=E(X),2=D(X 原点矩与中心矩的关系 证明:从4=E(X-(EX)=E∑CX(-Ex) =∑C(-a1) 例319:设X~N(,a2),求=E(X-EX),k=1,2…,n 解:k=E(X-EX)=E(X-p) 「(my1 √2 Cra ou=(k-1 σ4(k-1)(k-3)…31,k为偶数 k为奇数 所以山4=30 Ⅹ的高阶矩用来刻画ⅹ分布的对称性和峰峭性。 定义36:称g1=(=√DX)为X的偏度(系数)。 μ4_3为X的峰度(系数)。 81描述ⅹ的分布的对称性,g2描述X的分布的峰峭性 (陡峭程度)。 以X~N(,a2)作为标准研究其他分布的对称性和峰峭性E X k n k k α = ( ) , = 1,2,", X 的 k 阶中心矩定义为： E X EX k n k k µ = ( − ) , = 1,2,", 显然： ( ) , ( ). α1 = E X µ2 = D X 原点矩与中心矩的关系： ∑ = = − k i i k i i k Ck 0 α µ α1 i k i k i i µk Ck α α− = = ∑ (− )1 0 证明： ( ( )) [ ( ) ] 0 k i k i i i k k k E X EX E C X EX − = µ = − = ∑ − = i k i k i i Ck α α− = ∑ (− )1 0 例 3.19：设 ( , ) , 求 2 X～N µ σ E(X EX ) , k 1,2, ,n. k µk = − = " 解： k k µk = E(X − EX ) = E(X − µ) = x e dx x k 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) σ µ πσ µ − − +∞ −∞ − ∫ （ dx du x u σ σ µ = − = , ） = u e du u k σ πσ σ 2 2 2 1 ( ) − +∞ −∞ ∫ = k u e du u k k 2 2 2 2 1 ( 1) − − +∞ −∞ ∫ − π σ = ⎩ ⎨ ⎧ − − ⋅ ， 为奇数 为偶数 k k k k k 0 σ ( 1)( 3)"3 1, 所以 4 µ4 = 3σ X 的高阶矩用来刻画 X 分布的对称性和峰峭性。 定义 3.6：称 ( ) 3 3 g1 = σ = DX σ µ 为 X 的偏度（系数）。 3 4 4 2 = − σ µ g 为 X 的峰度（系数）。 1 g 描述 X 的分布的对称性， g2 描述 X 的分布的峰峭性 (陡峭程度)。 以 ( , ) 作为标准,研究其他分布的对称性和峰峭性： 2 X～N µ σ