=c[(-1)"f()],Re(s)>c。 (1)利用公式()=-F(s) 2t ele sin 2t 4(S+3) (S+3)+2 (s+3)+4 (2)由积分性质 e-r sin 2rd s(ds+3)+4 再由像函数的微分公式 )=「 s(+3)+4 (3)F()=/h1 ezt-sinht, nf(0=-sinht (4)s[f()= te-sin 2td 1 若f()=F(s),证明<() ∫oM,(0=[POM并利用此 结论,计算下列各式 (1) f(sin kt ,求F(s) (2)f(1)= sin21,求F(s) (3)F(s)= ,求f(t) (4)f() esin2dt,求F(S) 解∫F(s)=「,(-d=Jmol-h= f(De"d=df( sin kt (1)F(s)= du= arctan =--arctan - arc cot (2)F(s)=e desim2zl-r de="snalu-r' du= arctan u+3)2+4 s+3 arctan arc cot du＝&[( ) ( )]， Re 。 n −t f t (s) > c （1）利用公式&[ ] tf (t) = −F'(s) &[f ( )t ] = & 3 sin 2 t d te t ds − ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ & 3 [ sin 2 ] t e t − 2 2 2 2 2 4( ( 3) 2 ( 3) 4 s s s ⎛ ⎞ + = −⎜ ⎟′ = ⎝ ⎠ + + ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3) （2）由积分性质 & s e d t 1 sin 2 0 3 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ − τ τ τ &[ ] ( ) 3 4 1 2 sin 2 2 3 + + = ⋅ − s s e t t 再由像函数的微分公式 &[f ( )t ] = & ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ − [ 3 4] 2 sin 2 2 0 3 ds s s d t e d t τ τ τ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 12 13 + + + + = s s s s （3） 2 1 1 '( ) ln ' 2 1 1 s F s s s ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ − − & 2 t t inh ] t [ s ，知 2 f ( )t t sinh t = （4）&[f ( )t ] = & 3 0 1 sin 2 t t te tdt s ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ &[te t] t sin 2 −3 ( ) [ ] ( ) 2 2 3 4 4 3 + + + = s s s 4．若&[ ( f t)] = F(s) ，证明& ( ) ( ) s f t F s ds t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，或 f ( )t t = &－1 ( ) s F s ds ∞ ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ 。并利用此 结论，计算下列各式： （1） sin ( ) kt f t t = ，求 F s( )； （2） 3 sin 2 ( ) t e t f t t − = ，求 F s( )； （3） 2 ( ) ( 1) s F s s = − 2 ，求 f (t)； （4） 3 0 sin 2 ( ) t t e t f t dt t − = ∫ ，求 F s( )。 解 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st st st s s s f t F s ds f t e dtds f t e dsdt e dt t ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ +∞ − − − === = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ & f ( )t t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （1） F( )s = & sin s kt t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ &[sin kt]du 2 2 arctan | s s k u du u k k ∞ ∞ = = + ∫ arctan 2 s k π = − arc cot s k = （2） F( )s = & ∫ ∞ − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ s t t e sin 2t 3 &[ ] e t du t sin 2 −3 ( ) ∫ ∞ + ∞ = + + = s s u du u | 2 3 arctan 3 4 2 2 2 3 arctan 2 + = − π s 2 3 arc cot + = s （3） f ( )t = t & ( ) 1 2 2 1 s u du t u ∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∫ & ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ∞ − s u 1 1 2 1 2 1 = t & ( ) t t t e e s s − − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⋅ − ⋅ 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 t t sh 2 = - 7 -