《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使用逻辑术语 说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发表一本包含那么许多未 曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“它包含讲那个 总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解,如果这个悖 论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但是在集合论里,问题并不这么简单 1-4理发师悖论 在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发 有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人。有言在先 他应该给自己理发。 反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己理发的人理 发,他不能给自己理发 因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在1902年 提出来的,所以又叫罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然,这 里也存在着一个不可排除的“自指”问题 1-5集合论悖论 R是所有不包含自身的集合的集合。 人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应属于R。如 果R包含自身的话,R又不属于R 继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt 1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可 以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着 既不能被肯定也不能被否定的命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了 几种非欧几何;罗素悖论也表明集合论公理体系不完备 1-6书目悖论 个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么 它列不列出自己的书名? 这个悖论与理发师悖论基本一致 1一7苏格拉底悖论 有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底( Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲 学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的 修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当 作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑, 但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承 苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。” 这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代 中国也有一个类似的例子 1—7“言尽悖” 这是《庄子齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄子的这个言难 道就不悖吗?我们常说 7“世界上没有绝对的真理” 我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理 8“荒谬的真实《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语 说明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未 曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个 总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个悖 论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简单。 1-4 理发师悖论 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。” 有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先， 他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理 发，他不能给自己理发。 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在 1902 年 提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这 里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 1-5 集合论悖论 “R 是所有不包含自身的集合的集合。” 人们同样会问：“R 包含不包含 R 自身？”如果不包含，由 R 的定义，R 应属于Ｒ。如 果Ｒ包含自身的话，R 又不属于 R。 继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931 年歌德尔（Kurt Godel，1906- 1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可 以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着 既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了 几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 1-6 书目悖论 一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么 它列不列出自己的书名？ 这个悖论与理发师悖论基本一致。 １－７ 苏格拉底悖论 有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前 470－前 399）是古希腊的大哲 学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的 修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当 作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑， 但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。 苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” 这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代 中国也有一个类似的例子： １－７ “言尽悖” 这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难 道就不悖吗？我们常说： １－７ “世界上没有绝对的真理” 我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 １－８ “荒谬的真实