有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖 论”。悖论( paradox)来自希腊语"para+ dokein”,意思是“多想一想”。 这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步 的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨 (二)引进无限带来的悖论 《墨子·经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。” 如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。 1阿基里斯悖论 稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺( Zeno of elea),曾经提出过一些著名的悖论 对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个 阿基里斯( Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追 上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基 里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。 方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间 度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2 当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟 但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为 T′。对于任何T′,可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T′无法 度量T=S/(V1-V2)以后的时间 2二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D 的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此 这个物体永远也到达不了D 这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有完 善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种 不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有 逻辑可靠 他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运 动佯谬 2-3“飞矢不动 在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不 动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是 运动?中国古代也有类似的说法,如 2-4“飞鸟之景,未尝动也 这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避 的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为 “否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不 合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可 能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾。有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖 论”。悖论（paradox）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。 这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步 的解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。 （二）引进无限带来的悖论 《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。” 如果在有限中引进无限，就可能引起悖论。 ２－１ 阿基里斯悖论 稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论， 对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。 阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追 上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基 里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。 方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间 度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为Ｓ，速度分别为Ｖ１和Ｖ２。 当时间Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）时，阿基里斯就赶上了乌龟。 但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为 Ｔ＇。对于任何Ｔ＇，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个Ｔ＇无法 度量Ｔ＝Ｓ／（Ｖ１－Ｖ２）以后的时间。 ２－２ 二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先到达距离Ｄ 的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此， 这个物体永远也到达不了Ｄ。 这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完 善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在Ｔ时追上了乌龟，那么，“这是一种 不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的，没有 逻辑可靠。 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运 动佯谬： ２－３ “飞矢不动” 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不 动没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是 运动？中国古代也有类似的说法，如： ２－４ “飞鸟之景，未尝动也” 这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避 的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为 “否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么“不 合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界里是不可 能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾