型的罗必达法则 定理5.设函数f(x),g(x)满足下列条件 (1)imf(x)=limg(x)=0,(2)在U(a,)内可导,且g(x)≠0, x→a ()lim l(或∞) 则有1f()或∞ x x→a g(r) 证因求m() x→a g(r) 与∫()及g(u无关,则可定义f(a )=g(a)=0 从而∫(x)和g()在点a处连续.则由条件(1)、(2)可知, f(x)和g(x)在点a的邻域U(a,o)内是连续可导的 设x是该邻域内的一点,则f(x和g(x)在以x和a为端点 的区间[x,叫或,x上满足柯西中值定理的条件,故在[x q或[x内至少存在一点§,使得2 一. 型的罗必达法则 0 " " 0 定理5. 设函数ƒ(x), g(x)满足下列条件： 0 (1)lim ( ) lim ( ) 0; (2) ( , ) , ( ) 0; ( ) (3)lim ( ). ( ) x a x a x a f x g x U a g x f x l g x  → → → = =    =   在 内可导 且 或 ( ) lim ( ). ( ) x a f x l → g x 则有 或 =  证 因求 与ƒ(a)及g(a)无关, ( ) lim ( ) x a f x → g x 则可定义 ƒ(a) = g(a) = 0 从而 ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 处连续. 则由条件(1)、(2)可知, ƒ(x) 和 g(x) 在点 a 的邻域U(a, δ)内是连续可导的. 设x是该邻域内的一点, 则 ƒ(x) 和 g(x) 在以 x 和 a 为端点 的区间[x, a]或[a, x]上满足柯西中值定理的条件, 故在 [x, a] 或 [a, x] 内至少存在一点ξ , 使得