·112. 智能系统学报 第9卷 ×10 3.2等级问题 0.60 等级问题由等级结构、映射函数、函数值3部分 0.55 组成，输入变量作为最底层，按照映射函数将下一层 SCDE ▣0.50 COMAEA 映射到上一层，便构成了树状结构，每一层的函数值 之和即为最终的函数值。本文用HIFF(hierarchical DESA if-and-omly-if function)函数和HtrapI(hierarchical 0.40 tapI)函数[这2个比较典型的等级函数来测试 ×10 算法的性能。 0.35 0 0.51.01.52.02.53.0 1)HIFF函数。 迭代次数 (a)Goldberg函数 按式(6)由下层向上层映射： 20r 0, a=0且a鸣=0 19 SCDE fr(d)=1, a=1且ag=1 18 其他 17 COMAEA i=2,3,…,L,j=1,2,…,2 (6) 16 DESA 式中：L为层数，每一层的函数值由式(7)计算： 15 fi(a)=2-∑f, 14B 13 ×10 1,a=0或a=1 0.5 1.01.52.02.53.0 = 迭代次数 0, 其他 (b)Deceptive函数 i=1,2,…,L (7) 60 COMAEA 总函数值由式(8)计算： 50 fr(a）= ∑fr(a)+ SCDE 2, a=a5=0或a1=a5=1 40 (8) DESA 0, 其他 35 2)HtrapI函数。 30 HtrapI函数和HIFF函数映射过程类似，将下一 25 ,×103 0 2 3 层的3个变量映射为上一层的1个变量，问题规模 迭代次数 满足n=3L,映射函数如式(9)所示： (c)Trap5函数 10.0 0, a2=0且a=0且写=0 SCDE DESA- fhap（ad)= 1, a2=1且a1=1且ag=1, 9.6 -1, 其他 9.2 i=2,3,…,L,j=1,2,…,3 (9) 各层的函数值由式(10)计算： 8.8 COMAEA fap(a)=3 8.4 =1 1, u=0或u=3 8.0 ×10 0, u=2 2 3 5 f(a-2,-1,a)= 迭代次数 0.5 u=1 (d)Bipolare6函数 (10) 图260维函数收敛曲线对比图 Fig.2 Comparison of 60-dimensional function conver- 式中：u表示424-1、a中1的个数，最终的函数 gence curve 值由式(11)计算：（ａ） Ｇｏｌｄｂｅｒｇ 函数 （ｂ） Ｄｅｃｅｐｔｉｖｅ 函数 （ｃ） Ｔｒａｐ５ 函数 （ｄ） Ｂｉｐｏｌａｒ６ 函数 图 ２ ６０ 维函数收敛曲线对比图 Ｆｉｇ． ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ６０⁃ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒ⁃ ｇｅｎｃｅ ｃｕｒｖｅ ３．２ 等级问题 等级问题由等级结构、映射函数、函数值 ３ 部分 组成，输入变量作为最底层，按照映射函数将下一层 映射到上一层，便构成了树状结构，每一层的函数值 之和即为最终的函数值。 本文用 ＨＩＦＦ （ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｉｆ⁃ａｎｄ⁃ｏｎｌｙ⁃ｉｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ） 函 数 和 ＨｔｒａｐＩ （ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｔｒａｐ Ｉ）函数［１３］ 这 ２ 个比较典型的等级函数来测试 算法的性能。 １）ＨＩＦＦ 函数。 按式（６）由下层向上层映射： ｆＨＩＦＦ（ａ ｊ ｉ） ＝ ０， ａ ｉ－１ ２ｊ－１ ＝ ０ 且 ａ ｉ－１ ２ｊ ＝ ０ １， ａ ｉ－１ ２ｊ－１ ＝ １ 且 ａ ｉ－１ ２ｊ ＝ １ － １， 其他 ì î í ï ï ï ï ｉ ＝ ２，３，…，Ｌ，ｊ ＝ １，２，…，２ ｉ （６） 式中：Ｌ 为层数，每一层的函数值由式（７）计算： ｆ ｉ ＨＩＦＦ（ ａ ｉ ） ＝ ２ ｉ－ １∑ ２ ｉ ｊ ＝ １ ｆ ｉ ｊ ， ｆ ｉ ｊ ＝ １， ａ ｉ ｊ ＝ ０ 或 ａ ｉ ｊ ＝ １ ０， 其他 { ｉ ＝ １，２，…，Ｌ （７） 总函数值由式（８）计算： ｆＨＩＦＦ（ａ） ＝ ∑ Ｌ ｉ ＝ １ ｆ ｉ ＨＩＦＦ（ａ ｉ ） ＋ ２ Ｌ ， ａ Ｌ １ ＝ ａ Ｌ ２ ＝ ０ 或 ａ Ｌ １ ＝ ａ Ｌ ２ ＝ １ ０， 其他 { （８） ２）ＨｔｒａｐＩ 函数。 ＨｔｒａｐＩ 函数和 ＨＩＦＦ 函数映射过程类似，将下一 层的 ３ 个变量映射为上一层的 １ 个变量，问题规模 满足 ｎ ＝ ３Ｌ，映射函数如式（９）所示： ｆＨｔｒａｐＩ（ａ ｊ ｉ） ＝ ０， ａ ｉ－１ ３ｊ－２ ＝ ０ 且 ａ ｉ－１ ３ｊ－１ ＝ ０ 且 ａ ｉ－１ ３ｊ ＝ ０ １， ａ ｉ－１ ３ｊ－２ ＝ １ 且 ａ ｉ－１ ３ｊ－１ ＝ １ 且 ａ ｉ－１ ３ｊ ＝ １ － １， 其他 ì î í ï ï ï ï ， ｉ ＝ ２，３，…，Ｌ，ｊ ＝ １，２，…，３ ｉ （９） 各层的函数值由式（１０）计算： ｆ ｉ ＨｔｒａｐＩ（ａ ｉ ） ＝ ３ ｉ∑ ３ ｉ ／ ３ ｊ ＝ １ ｆ ｉ ｊ （ａ ｉ ３ｊ－２ ，ａ ｉ ３ｊ－１ ，ａ ｉ ３ｊ） ， ｆ ｉ ｊ （ａ ｉ ３ｊ－２ ，ａ ｉ ３ｊ－１ ，ａ ｉ ３ｊ） ＝ １， ｕ ＝ ０ 或 ｕ ＝ ３ ０， ｕ ＝ ２ ０．５， ｕ ＝ １ ì î í ïï ï （１０） 式中：ｕ 表示 ａ ｉ ３ｊ－２ 、ａ ｉ ３ｊ－１ 、ａ ｉ ３ｊ 中 １ 的个数，最终的函数 值由式（１１）计算： ·１１２· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷