图7.1 关于梁的弯曲变形,可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究 图示一根任意梁,以变形前直梁的轴线为x轴,垂直向下的轴为y轴,建 立xoy直角坐标系。当梁在xy面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为xy面内的 条光滑连续曲线,称为梁的挠曲线,或弹性曲线。第六章中曾经指出,梁弯曲 后横截面仍然垂直于梁的挠曲线,因此,当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生 了线位移,而且还产生了角位移,如图7.1所示 横截面的形心在垂直于梁轴(x轴)方向的线位移,称为横截面的挠度,并 用符号U表示。关于挠度的正负符号,在图示坐标系下,规定挠度向下(与y轴 同向)为正;向上(与y轴反向)为负。应该指出,由于梁在弯曲时长度不变, 横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下,这种位移极小, 可以忽略不计。梁弯曲时,各个截面的挠度是截面形心坐标x的函数,即有 u=v(r) 上式是挠曲线的函数表达式,亦称为挠曲线方程 横截面的角位移,称为截面的转角,用符号θ表示。关于转角的正负符号, 规定在图示坐标系中从x轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角θ为正的;反 之,为负的 显然,转角也是随截面位置不同而变化的,它也是截面位置x的函数,即 b=6(x 此式称为转角方程。工程实际中,小变形时转角b是一个很小的量,因此可表示 为 6≈lgb: =v(x 综上所述,求梁的任一截面的挠度和转角,关键在于确定梁的挠曲线方程 2、挠曲线近似微分方程 对细长梁,梁上的弯矩M和相应截面处梁轴的曲率半径p均为截面位置x图 7.1 关于梁的弯曲变形，可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究。 图示一根任意梁，以变形前直梁的轴线为 x 轴，垂直向下的轴为 y 轴，建 立 xoy 直角坐标系。当梁在 xy 面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为 xy 面内的 一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线，或弹性曲线。第六章中曾经指出，梁弯曲 后横截面仍然垂直于梁的挠曲线，因此，当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生 了线位移，而且还产生了角位移，如图 7.1 所示。 横截面的形心在垂直于梁轴（ x 轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并 用符号  表示。关于挠度的正负符号，在图示坐标系下，规定挠度向下（与 y 轴 同向）为正；向上（与 y 轴反向）为负。应该指出，由于梁在弯曲时长度不变， 横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下，这种位移极小， 可以忽略不计。梁弯曲时，各个截面的挠度是截面形心坐标 x 的函数，即有  = (x) 上式是挠曲线的函数表达式，亦称为挠曲线方程。 横截面的角位移，称为截面的转角，用符号  表示。关于转角的正负符号， 规定在图示坐标系中从 x 轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角  为正的；反 之，为负的。 显然，转角也是随截面位置不同而变化的，它也是截面位置 x 的函数，即  =  (x) 此式称为转角方程。工程实际中，小变形时转角  是一个很小的量，因此可表示 为 ( ) ' x dx dy   tg = = 综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程  = (x) 2、 挠曲线近似微分方程 对细长梁，梁上的弯矩 M 和相应截面处梁轴的曲率半径  均为截面位置 x