第七章弯曲变形 、教学目标和教学内容 1.教学目标 掌握求梁变形的两种方法:积分法和叠加法,明确叠加原理的使用条件, 掌握用变形比较法求解静不定梁 教学内容 有关弯曲变形的基本概念 积分法和叠加法 明确叠加原理 力法求解静不定梁。 重点难点 梁的变形分析。 挠曲轴近似微分方程。 积分法求变形 叠加法求梁的变形 静不定梁 教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题 四、建议学时 五、讲课提纲 1、概述
第 七 章 弯 曲 变 形 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件， 掌握用变形比较法求解静不定梁。 2．教学内容 有关弯曲变形的基本概念 积分法和叠加法 明确叠加原理 力法求解静不定梁。 二、 重点难点 梁的变形分析。 挠曲轴近似微分方程。 积分法求变形。 叠加法求梁的变形。 静不定梁。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 7 学时 五、讲课提纲 1、概述
图7.1 关于梁的弯曲变形,可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究 图示一根任意梁,以变形前直梁的轴线为x轴,垂直向下的轴为y轴,建 立xoy直角坐标系。当梁在xy面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为xy面内的 条光滑连续曲线,称为梁的挠曲线,或弹性曲线。第六章中曾经指出,梁弯曲 后横截面仍然垂直于梁的挠曲线,因此,当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生 了线位移,而且还产生了角位移,如图7.1所示 横截面的形心在垂直于梁轴(x轴)方向的线位移,称为横截面的挠度,并 用符号U表示。关于挠度的正负符号,在图示坐标系下,规定挠度向下(与y轴 同向)为正;向上(与y轴反向)为负。应该指出,由于梁在弯曲时长度不变, 横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下,这种位移极小, 可以忽略不计。梁弯曲时,各个截面的挠度是截面形心坐标x的函数,即有 u=v(r) 上式是挠曲线的函数表达式,亦称为挠曲线方程 横截面的角位移,称为截面的转角,用符号θ表示。关于转角的正负符号, 规定在图示坐标系中从x轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角θ为正的;反 之,为负的 显然,转角也是随截面位置不同而变化的,它也是截面位置x的函数,即 b=6(x 此式称为转角方程。工程实际中,小变形时转角b是一个很小的量,因此可表示 为 6≈lgb: =v(x 综上所述,求梁的任一截面的挠度和转角,关键在于确定梁的挠曲线方程 2、挠曲线近似微分方程 对细长梁,梁上的弯矩M和相应截面处梁轴的曲率半径p均为截面位置x
图 7.1 关于梁的弯曲变形，可以从梁的轴线和横截面两个方面来研究。 图示一根任意梁，以变形前直梁的轴线为 x 轴，垂直向下的轴为 y 轴，建 立 xoy 直角坐标系。当梁在 xy 面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为 xy 面内的 一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线，或弹性曲线。第六章中曾经指出，梁弯曲 后横截面仍然垂直于梁的挠曲线，因此，当梁发生弯曲时梁的各个截面不仅发生 了线位移，而且还产生了角位移，如图 7.1 所示。 横截面的形心在垂直于梁轴（ x 轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并 用符号 表示。关于挠度的正负符号，在图示坐标系下，规定挠度向下（与 y 轴 同向）为正；向上（与 y 轴反向）为负。应该指出，由于梁在弯曲时长度不变， 横截面的形心在沿梁轴方向也存在线位移。但在小变形条件下，这种位移极小， 可以忽略不计。梁弯曲时，各个截面的挠度是截面形心坐标 x 的函数，即有 = (x) 上式是挠曲线的函数表达式，亦称为挠曲线方程。 横截面的角位移，称为截面的转角，用符号 表示。关于转角的正负符号， 规定在图示坐标系中从 x 轴順时针转到挠曲线的切线形成的转角 为正的；反 之，为负的。 显然，转角也是随截面位置不同而变化的，它也是截面位置 x 的函数，即 = (x) 此式称为转角方程。工程实际中，小变形时转角 是一个很小的量，因此可表示 为 ( ) ' x dx dy tg = = 综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程 = (x) 2、 挠曲线近似微分方程 对细长梁，梁上的弯矩 M 和相应截面处梁轴的曲率半径 均为截面位置 x
的函数,因此,梁的挠曲线的曲率可表为 M(x) P(x) E 即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比,与截面的抗弯刚度 EI成反比 另外,由高等数学知,曲线y=(x)任一点的曲率为 +) 显然,上述关系同样适用于挠曲线。比较上两式,可得 M(x) 上式称为挠曲线微分方程。这是一个二阶非线性常微分方程,求解是很困难的。 而在工程实际中,梁的挠度y和转角θ数值都很小,因此,(y)2之值和1相比很 小,可以略去不计,于是,该式可简化为 式中左端的正负号的选择,与弯矩M的正负符号规定及xoy坐标系的选择有关。 根据弯矩M的正负符号规定,当梁的弯矩M>0时,梁的挠曲线为凹曲线,按 图示坐标系,挠曲线的二阶导函数值0。可见,在图示右手坐标系中,梁 上的弯矩M与挠曲线的二阶导数v符号相反。所以,上式的左端应取负号,即 M(x) E 上式称为挠曲线近似微分方程。实践表明,由此方程求得的挠度和转角,对工程 计算来说,已足够精确。 3、积分法求弯曲变形 积分法计算梁的变形 积分一次:D=6= dx+C El M(x) dxdx+Cx+D 再积分一次:
的函数，因此，梁的挠曲线的曲率可表为 EI M x x ( ) ( ) 1 = 即梁的任一截面处挠曲线的曲率与该截面上的弯矩成正比，与截面的抗弯刚度 EI 成反比。 另外，由高等数学知，曲线 y = (x) 任一点的曲率为 2 3 ' 2 " 1 ( ) ( ) 1 + = x 显然，上述关系同样适用于挠曲线。比较上两式，可得 EI M (x) 1 ( ) 2 3 ' 2 " = + 上式称为挠曲线微分方程。这是一个二阶非线性常微分方程，求解是很困难的。 而在工程实际中，梁的挠度 y 和转角 数值都很小，因此， 2 ( y ) 之值和 1 相比很 小，可以略去不计，于是，该式可简化为 EI M (x) " = 式中左端的正负号的选择，与弯矩 M 的正负符号规定及 xoy 坐标系的选择有关。 根据弯矩 M 的正负符号规定，当梁的弯矩 M 0 时，梁的挠曲线为凹曲线，按 图示坐标系，挠曲线的二阶导函数值 0 '' ；反之，当梁的弯矩 M 0 时，挠曲 线为凸曲线，在图示坐标系中挠曲线的 0 '' 。可见，在图示右手坐标系中，梁 上的弯矩 M 与挠曲线的二阶导数 '' 符号相反。所以，上式的左端应取负号，即 EI M (x) " − = 上式称为挠曲线近似微分方程。实践表明，由此方程求得的挠度和转角，对工程 计算来说，已足够精确。 3、 积分法求弯曲变形 积分法计算梁的变形 积分一次： ´=θ 再积分一次： ( ) dx C EI M x = + ( ) dxdx Cx D EI M x = + +
C、D为积分常数,它由位移边界与连续条件确定 边界条件: (1)固定端约束:限制线位移和角位移 :0,6,=0 B (2)铰支座:只限制线位移 0,va=0 C 连续条件: Q=6 叠加法求梁的变形 在第五章介绍用叠加法作弯矩图时,曾介绍了材料力学的一个普遍原理 叠加原理。在线弹性小变形前提下,构件的支反力、内力、应力和变形都可以用 叠加法的方法计算。 弯曲变形时,梁的挠度与转角都与载荷成线性关系。 因此,可以用叠加法计算梁的弯曲变形。当梁上有几个载荷共同作用时,可 以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形,然后进行叠加,即可求得梁在几个 载荷共同作用时的总变形。 应用叠加法求梁的变形时,若已知梁在简单载荷作用时的变形,是很方便 5、梁的刚度校核 5.1刚度条件 bm≤[6] [v]或 ≤[ []一一构件的许用转角
C、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定 边界条件 ： （1）固定端约束：限制线位移和角位移 (2)铰支座：只限制线位移 连续条件 ： 4、叠加法求梁的变形 在第五章介绍用叠加法作弯矩图时，曾介绍了材料力学的一个普遍原理—— 叠加原理。在线弹性小变形前提下，构件的支反力、内力、应力和变形都可以用 叠加法的方法计算。 弯曲变形时，梁的挠度与转角都与载荷成线性关系。 因此，可以用叠加法计算梁的弯曲变形。当梁上有几个载荷共同作用时，可 以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个 载荷共同作用时的总变形。 应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便 的。 5、 梁的刚度校核 5.1 刚度条件 [ ] max [ ] max 或 [ ] max l l [ ]——构件的许用转角 A B C A B A = 0, A = 0 A = 0, B = 0 左 右 左 右 C = C C = C
分别为构件的许用挠度、单位长度许用挠度 5.2刚度校核 刚度校核是检査梁在荷载作用下产生的变形是否超过容许值,在机械工程中,一般 对θ,v都进行校核:在建筑工程中,大多数只校核挠度υ 5.3提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出,弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支 座条件,梁截面的惯性矩Ⅰ、材料的弹性模量E有关。故提高梁刚度的措施为: (1)改善结构形式,减小弯矩M (2)增加支承,减小跨度l (3)选用合适的材料,增加弹性模量E。但因各种钢材的弹性模量基本相同,所 以为提高梁的刚度而采用高强度钢,效果并不显著; (4)选择合理的截面形状,提高惯性矩Ⅰ,如工字形截面、空心截面等。 6、简单超静定梁的解法 超静定梁:约束反力数目多于静力平衡方程 数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不 定次数
[ ]、[ ] l ——分别为构件的许用挠度、单位长度许用挠度 5.2 刚度校核 刚度校核是检查梁在荷载作用下产生的变形是否超过容许值，在机械工程中，一般 对 , 都进行校核；在建筑工程中，大多数只校核挠度 。 5.3 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支 座条件，梁截面的惯性矩 I 、材料的弹性模量 E 有关。故提高梁刚度的措施为： （1）改善结构形式，减小弯矩 M ； （2）增加支承，减小跨度 l ； （3）选用合适的材料，增加弹性模量 E 。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所 以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著； （4）选择合理的截面形状，提高惯性矩 I ，如工字形截面、空心截面等。 6、简单超静定梁的解法 超静定梁：约束反力数目多于静力平衡方程 数目的梁称为静不定梁。两者数目的差称为静不 定次数