第十三章压杆稳定 、教学目标和教学内容 1.教学目标 深入理解弹性平衡稳定性的概念 熟练应用压杆的临界力公式,掌握杆端约束对临界力的影响 压杆的分类与临界应力曲线 掌握压杆稳定性校核的方法 2.教学内容 稳定的概念 两端铰支细长压杆的欧拉临界力 杆端约束的影响 临界应力曲线 压杆稳定性的校核 二、重点难点 重点:欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 难点:欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 五、讲课提纲 1、稳定的概念 1.1分叉点失稳 1.1.1三种平衡状态 (1)刚球的稳定性 如物体因受了干扰稍为偏离它原来的平衡位置,而在干扰消除后它能够回到 原来位置的平衡状态,就说它原来位置的平衡状态是稳定的。若干扰消除后它不 回到原来位置的平衡状态,就说原来位置的平衡状态不稳定。所以一个刚体的稳 定性是指它维持其原有位置的平衡状态的能力
第 十 三 章 压 杆 稳 定 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 深入理解弹性平衡稳定性的概念 熟练应用压杆的临界力公式，掌握杆端约束对临界力的影响 压杆的分类与临界应力曲线 掌握压杆稳定性校核的方法 2．教学内容 稳定的概念 两端铰支细长压杆的欧拉临界力 杆端约束的影响 临界应力曲线 压杆稳定性的校核 二、重点难点 重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性的校核 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6 学时 五、讲课提纲 1、稳定的概念 1.1 分叉点失稳 1.1.1 三种平衡状态 (1）刚球的稳定性 如物体因受了干扰稍为偏离它原来的平衡位置，而在干扰消除后它能够回到 原来位置的平衡状态，就说它原来位置的平衡状态是稳定的。若干扰消除后它不 回到原来位置的平衡状态，就说原来位置的平衡状态不稳定。所以一个刚体的稳 定性是指它维持其原有位置的平衡状态的能力
①B 中一 b R 图13.1 在图13.1a中,刚体小球A、和C各在重力W与反力R作用下处于平衡状态。 但是,A的平衡状态是稳定的,B和C的平衡状态却不稳定。因为若分别以微干 扰力使三球稍微移动到其邻近位置又撤去干扰力之后,原在谷底A的球到了A 因反力不能平衡重力,必滚回谷底A,最终在A静平衡。原在峰顶B的球到了B 反力和重力的不平衡使它往低处滚,非滚到某一谷底不会停止.绝不可能回到原 位置峰顶B去静平衡。原在C的球则在干扰力让它到达之处就地静止并平衡。因 R和W始终在一直线上 图13.1b中几条线分别表示山谷、平原、和山峰。谷坡越陡,坡上的球越易 回谷底平衡, 因而球在谷底的平衡越稳定.谷坡越平,稳定性越小,谷变为平地,球的平衡的 稳定性降为 零。平地若变为峰,球在峰顶,其平衡就不稳定了。所以,球在平地的平衡,是 稳定平衡与不稳定平衡的分界,并称为临界平衡或中性平衡。 (2)弹性压杆的稳定性 所谓弹性压杆的稳定性是指弹性压杆在中心压力作用下的直线位形的平衡 状态的稳定性;又因弹性体受力后的任一平衡状态都对应着某个唯一的变形状 态,所以也是指弹性压杆受压后的轴向缩短的变形状态的稳定性。 设有一两端球铰支座的弹性均质等直杆受毫无偏心的轴向压力作用(这就是 所谓的理想压杆),杆呈轴向缩短变形状态,如图13.2a。现在要判断这种变形 状态(或直线位置的平衡状态)是否稳定。要作这种判断,可加一微小干扰力Q, 使杆轴到达一个微弯曲线位置
图 13.1 在图 13.l a 中，刚体小球 A、和 C 各在重力 W 与反力 R 作用下处于平衡状态。 但是，A 的平衡状态是稳定的，B 和 C 的平衡状态却不稳定。因为若分别以微干 扰力使三球稍微移动到其邻近位置又撤去干扰力之后，原在谷底 A 的球到了 A ' ， 因反力不能平衡重力，必滚回谷底 A，最终在 A 静平衡。原在峰顶 B 的球到了 B ' ， 反力和重力的不平衡使它往低处滚，非滚到某一谷底不会停止．绝不可能回到原 位置峰顶 B 去静平衡。原在 C 的球则在干扰力让它到达之处就地静止并平衡。因 R 和 W 始终在一直线上． 图 13.lb 中几条线分别表示山谷、平原、和山峰。谷坡越陡，坡上的球越易 回谷底平衡， 因而球在谷底的平衡越稳定．谷坡越平，稳定性越小，谷变为平地，球的平衡的 稳定性降为 零。平地若变为峰，球在峰顶，其平衡就不稳定了。所以，球在平地的平衡，是 稳定平衡与不稳定平衡的分界，并称为临界平衡或中性平衡。 (2）弹性压杆的稳定性 所谓弹性压杆的稳定性是指弹性压杆在中心压力作用下的直线位形的平衡 状态的稳定性；又因弹性体受力后的任一平衡状态都对应着某个唯一的变形状 态，所以也是指弹性压杆受压后的轴向缩短的变形状态的稳定性。 设有一两端球铰支座的弹性均质等直杆受毫无偏心的轴向压力作用(这就是 所谓的理想压杆)，杆呈轴向缩短变形状态，如图 13.2 a。现在要判断这种变形 状态(或直线位置的平衡状态)是否稳定。要作这种判断，可加一微小干扰力Ｑ， 使杆轴到达一个微弯曲线位置
F FP F 图13.2 如图13.2b,然后撤销干扰力,如果杆轴能回到直线位置,则称初始直线位 置的平衡状态是稳定的;如果它继续弯曲到一个挠度更大的曲线位置去平衡,则 初始直线位置的平衡状态是不稳定的;这就是判别弹性稳定性的静力学准则。如 果它停留在干扰力撤销瞬时的微弯曲线的位置不动,则初始直线位置的平衡是临 界平衡或中性平衡。事实上,同一杆件其直线位置的平衡状态是否稳定,视所受 轴向压力F的大小是否超过一个仅与杆的材料、尺寸、和支承方式有关的临界 值F而定。这个取决于杆件本身的定值FP,称为压杆的临界力或临界荷载 设轴向压力F从零逐渐增大,则杆件在直线位置的平衡状态表现为 (1)当FFx,是不稳定的平衡状态; 当F=Fa时,压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时),又可在干扰给予 的微弯曲线位置平衡,这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。 1.1.2荷载一挠度曲线,分叉点 以图13.2b的两端铰支的理想弹性压杆所受轴向压力F为纵轴,以干扰力 Q撤销后杆的中点挠度w为横轴,如图13.3a,表示荷载F之值由零逐渐增大 的过程中的荷载一挠度关系的曲线是该图中的OAB折线。图中OA段与纵轴重合 表示在FFPa时,荷载一挠度曲线为OABD′L中AL曲线段,和AB直线段,图 13.3b表示。其中一个分支AB对应着直线的平衡位形(无丝毫干扰);AL曲线
（a） （b） 图 13.2 如图 13.2b，然后撤销干扰力，如果杆轴能回到直线位置，则称初始直线位 置的平衡状态是稳定的；如果它继续弯曲到一个挠度更大的曲线位置去平衡，则 初始直线位置的平衡状态是不稳定的；这就是判别弹性稳定性的静力学准则。如 果它停留在干扰力撤销瞬时的微弯曲线的位置不动，则初始直线位置的平衡是临 界平衡或中性平衡。事实上，同一杆件其直线位置的平衡状态是否稳定，视所受 轴向压力 FP 的大小是否超过一个仅与杆的材料、尺寸、和支承方式有关的临界 值 FPcr 而定。这个取决于杆件本身的定值 FPcr ，称为压杆的临界力或临界荷载。 设轴向压力 FP 从零逐渐增大，则杆件在直线位置的平衡状态表现为： (1)当 FP FPcr ，是稳定的平衡状态； (2)当 FP = FPcr ，是临界的平衡状态； (3)当 FP FPcr ，是不稳定的平衡状态； 当 FP = FPcr 时，压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时)，又可在干扰给予 的微弯曲线位置平衡，这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。 1.1.2 荷载－挠度曲线，分叉点 以图 13.2b 的两端铰支的理想弹性压杆所受轴向压力 FP 为纵轴，以干扰力 Ｑ撤销后杆的中点挠度 w0 为横轴，如图 13.3 a ，表示荷载 FP 之值由零逐渐增大 的过程中的荷载－挠度关系的曲线是该图中的 OAB 折线。图中 OA 段与纵轴重合， 表示在 FP FPcr 整个阶段内的任何时刻，干扰力撤销后杆中点挠度均为零，即杆 件能由微弯位形弹回其直线位形而平衡，即当 FP FPcr 时杆件在初始直线位置的 平衡是稳定的。AB 段为水平，表明当 FP = FPcr 时，中点挠度 w0 可以是 AB 范围内 的任意值，随干扰大小而定，但整个 AB 之长是微量。若干扰力反向，则 AB 被 AB′取代，AB′的长度也是微量。 当 FP FPcr 时，荷载－挠度曲线为 OABD′L 中 AL 曲线段，和 AB 直线段，图 13.3b 表示。其中一个分支 AB 对应着直线的平衡位形(无丝毫干扰)；ＡＬ曲线
是根据大挠度理论算出来的,对应着屈曲的平衡位形,不能停留在微弯位形。因 此当F=F时,杆在直线 A分又点 D BB 图13.3 位置的平衡是不稳定的。人们把(F-0)关系的发展曲线称为平衡途径。 当F<F时,平衡途径为OA,这段途径是唯一的。 当F≥Fa时;平衡途径有两条:若无干扰它将沿AD途径发展,这一途径 上各点对应的平衡状态不稳定。若有干扰,它将沿曲线AL途径发展,其各点对 应着稳定的平衡状态。点A称为(两条途径的)分叉点。0OAL曲线所描写的失稳现 象称为分叉点失稳。临界荷载Fx又称为分又点荷载。 显然折线OAB所代表的小挠度理论只是OAL曲线所代表的大挠度理论的一部 分,其贡献在于能确定至关重要的临界力,在13.2节我们将详细介绍小挠度理 论一欧拉理论 1.2极值点失稳 图13.3b的曲线GJK描写的失稳现象称为极值点失稳。上面说的分叉点失稳 是理想压杆(无任何缺陷的弹性压杆)的失稳现象。实际压杆总是有缺隐的(杆内 存在残余应力、初弯曲、荷载有初偏心,截面上有塑性区,等等)。图13.3b的 GK曲线是有初挠度w的实际压杆的F-关系曲线,其特点是无直线段,曲线 分上升的GJ和下降的JK两段,J点的切线水平,所以J是极值点,其纵坐标所 表示的荷载F称为极值点荷载。当FP=Fp后,将出现JK段曲线所反映的实际 压杄的崩溃现象一在荷载值不断降低的情况下杆件急剧弯曲,不再能维持其原来 的缩短加弯曲的变形形式。这种现象叫做极值点失稳。F总是小于临界荷载 对于理想压杆,稳定性意味着压杆维持其直线压缩的变形形式的能力。对于 有缺陷的压杆,稳定性意味着它维持其缩短加弯曲的变形形式的能力。总之,稳
是根据大挠度理论算出来的，对应着屈曲的平衡位形，不能停留在微弯位形。因 此当 FP = FPcr 时，杆在直线 图 13.3 位置的平衡是不稳定的。人们把（ Fp − w0 ）关系的发展曲线称为平衡途径。 当 FP FPcr 时，平衡途径为 OA，这段途径是唯一的。 当 FP FPcr 时；平衡途径有两条：若无干扰它将沿ＡＤ途径发展，这一途径 上各点对应的平衡状态不稳定。若有干扰，它将沿曲线ＡＬ途径发展，其各点对 应着稳定的平衡状态。点Ａ称为(两条途径的)分叉点。OAL 曲线所描写的失稳现 象称为分叉点失稳。临界荷载 Fpcr 又称为分叉点荷载。 显然折线OAB所代表的小挠度理论只是OAL曲线所代表的大挠度理论的一部 分，其贡献在于能确定至关重要的临界力，在 13.2 节我们将详细介绍小挠度理 论－欧拉理论。 1.2 极值点失稳 图 13.3b 的曲线 GJK 描写的失稳现象称为极值点失稳。上面说的分叉点失稳 是理想压杆(无任何缺陷的弹性压杆)的失稳现象。实际压杆总是有缺隐的(杆内 存在残余应力、初弯曲、荷载有初偏心，截面上有塑性区，等等)。图 13.3b 的 GJK 曲线是有初挠度 w' 的实际压杆的 Fp − w0 关系曲线，其特点是无直线段，曲线 分上升的 GJ 和下降的 JK 两段，J 点的切线水平，所以 J 是极值点，其纵坐标所 表示的荷载 PJ F 称为极值点荷载。当 P PJ F = F 后，将出现 JK 段曲线所反映的实际 压杆的崩溃现象—在荷载值不断降低的情况下杆件急剧弯曲，不再能维持其原来 的缩短加弯曲的变形形式。这种现象叫做极值点失稳。 PJ F 总是小于临界荷载 Fpcr。 对于理想压杆，稳定性意味着压杆维持其直线压缩的变形形式的能力。对于 有缺陷的压杆，稳定性意味着它维持其缩短加弯曲的变形形式的能力。总之，稳
定性意味着杆件维持其原有变形形式或平衡形式的能力。再则,稳定阶段总是 个比较长而缓的渐变过程,失稳却是一个短促而急剧的突变过程。 2、两端铰支细长压杆的欧拉临界力 理想弹性压杆的临界力是在干扰力撤销后维持压杆在微弯位形平衡的最小 轴向压力。求临界力必须从微弯的压杆中取分离体。图13.4b就是从图13.4a所 示轴向受压的理想压杆的变形后的微弯弹性杆件中取出来的。在其x截面上取截 面形心为矩心建立力矩平衡方程,当干扰力撤消前两端有竖向反力O/2,得到任 意截面x上的弯矩。 图13. M=FPw+Q 由小挠度微分方程 M=-Eh't (b) 当F<F时,就(a)式而言,Fw一旦失去Qx/2的帮助就不能抗衡内力弯矩 M而让杆弹回直线位置。到F增大到F=F时,FW无需Ox/2的帮助也能平 衡,而Ωx12就变得可有可无,可以忽略它的影响。这时令Q=0,于是就有 M= Pw 注意,这就是临界平衡方程式。结合式(b),得 Eh"+Fpw=0 这就是微弯弹性曲线的微分方程式,是用平衡方程确定分叉点荷载的主要依据。 Fp (d 于是,式(c)可写为 w+k w=0 其通解为 C cos kx+C sin kx 为了确定积分常数C和C2,考虑边界条件
定性意味着杆件维持其原有变形形式或平衡形式的能力。再则，稳定阶段总是一 个比较长而缓的渐变过程，失稳却是一个短促而急剧的突变过程。 2、两端铰支细长压杆的欧拉临界力 理想弹性压杆的临界力是在干扰力撤销后维持压杆在微弯位形平衡的最小 轴向压力。求临界力必须从微弯的压杆中取分离体。图 13.4b 就是从图 13.4 a 所 示轴向受压的理想压杆的变形后的微弯弹性杆件中取出来的。在其 x 截面上取截 面形心为矩心建立力矩平衡方程，当干扰力撤消前两端有竖向反力 Q / 2 ，得到任 意截面 x 上的弯矩。 图 13.4 M F w Qx 2 1 = P + （ a ） 由小挠度微分方程 M = −EIw'' （ｂ） 当 FP FPcr 时，就（a）式而言， FPw 一旦失去 Qx / 2 的帮助就不能抗衡内力弯矩 M 而让杆弹回直线位置。到 FP 增大到 FP = FPcr 时， FPw 无需 Qx / 2 的帮助也能平 衡，而 Qx / 2 就变得可有可无，可以忽略它的影响。这时令 Q = 0 ，于是就有 M = Pw 注意，这就是临界平衡方程式。结合式（b），得 EIw"+FPw = 0 （ｃ） 这就是微弯弹性曲线的微分方程式，是用平衡方程确定分叉点荷载的主要依据。 令 EI F k 2 P = （ d ） 于是，式(ｃ)可写为 " 0 2 w +k w = 其通解为 w C coskx C sin kx = 1 + 2 （ｅ） 为了确定积分常数 C1 和 C2 ，考虑边界条件
1)当x=0时,w(0)=0 2)当x=l时,w(D)=0 代入式(e)分别得 C1×1+C2×0=0 C cos kl+C sin kl=0 式(f)是以C1和C2为未知数的二元联立方程,而且是齐次方程。它显然有零解, 即C,=0 C,=0,此时,由式(e)可得≡0,这表示未加干扰时杆可在直线位置平衡, 但这对求解F毫无意义。要使式(∫)有非零解,必须C1和C2的系数行列式等 于零,即 COS sIn 由此解答,稳定方程 g 这要求 kl=±nx(n=0,1,2 (h) 于是有所要求的分叉荷载的表达式 (n=0,1,2,3,…) 或 (n=0,1,2,3,…) (i) 首先,n有一系列的值,因而Fx也是一系列的值,我们要求的是其中的最小 值,但n 0时,Fx=0,显然无意义,所以n的合理的最小值是1,于是得 (13.1) 其次,截面的惯性矩Ⅰ也是多值的,当端部各个方向的约束相同时,上式中 的/为杆横 截面的最小形心惯性矩。式(f)的第一个式给出C1=0,由式(h)得k=±z 这里n=1,于是由式(e)得弹性曲线方程
1) 当 x ＝０时， w （０）＝０ 2) 当 x＝l 时， w （ l ）＝０ 代入式(ｅ)分别得 + = + = cos sin 0 1 0 0 1 2 1 2 C kl C kl C C （ f ） 式( f )是以 C1 和 C2 为未知数的二元联立方程，而且是齐次方程。它显然有零解， 即 C1 =0， C2 =0，此时，由式（ｅ）可得 w 0，这表示未加干扰时杆可在直线位置平衡， 但这对求解 FPcr 毫无意义。要使式( f )有非零解，必须 C1 和 C2 的系数行列式等 于零，即 0 cos sin 1 0 = kl kl 由此解答，稳定方程 sin kl = 0 （ g ） 这要求 kl = n （ n＝0，1，2，3，…） （ h ） 于是有所要求的分叉荷载的表达式 2 2 2 Pcr 2 l n k EI F = = （ n＝0，1，2，3，…） 或 2 2 2 Pcr l n EI F = （ n＝0，1，2，3，…） （ i ） 首先， n 有一系列的值，因而 FPcr 也是一系列的值，我们要求的是其中的最小 值，但 n ＝０时， FPcr ＝０，显然无意义，所以 n 的合理的最小值是１，于是得 2 2 Pcr l EI F = （13.1） 其次，截面的惯性矩 I 也是多值的，当端部各个方向的约束相同时，上式中 的 I 为杆横 截面的最小形心惯性矩。式( f ）的第一个式给出 C1 ＝０，由式( h ）得 l k = ， 这里 n ＝１，于是由式( e ）得弹性曲线方程
±C,Sn 当x=时,w(=)=o,于是上式得C2=±1,所以弹性曲线方程的最后形式 为 W= Wo sIn 1的值视干扰大小而定,但是w是微量。两端铰支压杆失稳时的弹性曲线是半 波正弦曲线。 本节求Fy的方法叫做微分方程法或临界平衡法,其思路是: 从临界平衡状态的微弯曲 线取分离体,建立临界平衡方程,再转换为弹性曲线的微分方程式,在不能让 通解的全部 积分常数都等于零的条件下得到稳定方程式,从而得出临界力。 除临界平衡法外还有能量法确定临界力 式(13.1)是端士科学家L·欧拉(L. Euler)在1744年提出的,所以叫做欧 拉公式。人们把两端铰支的理想压杆称为欧拉压杆,称为为欧拉荷载 3、杆端约束的影响 对于各种杆端约束情况的弹性压杆,由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微 分方程和边界条件都可能各不相同,临界荷载的表达式也因此不同。现以图13. 的一端固定一端铰支压杆为例。当固端力矩为M,根据杆件的整体平衡条件, 两端有水平反力M/l。取x截面以下部分为分离体如图b,以x截面的形心为 矩心建立力矩平衡方程得 M=Fpw-Mox// 再由M=-Eh"得微分方程 EN+F w=Mx/ 或 tk Ell 式中k2=FP(E),微分方程的解是 w=C cos kx+C sin kx+
l x w C = 2 sin 当 2 l x = 时， 0 ) 2 ( w l w = ，于是上式得 C2 ＝± w0 ，所以弹性曲线方程的最后形式 为 l x w w = 0 sin （ j ） w0 的值视干扰大小而定，但是 w0 是微量。两端铰支压杆失稳时的弹性曲线是半 波正弦曲线。 本节求 FPcr 的方法叫做微分方程法或临界平衡法，其思路是： 从临界平衡状态的微弯曲 线取分离体，建立临界平衡方程，再转换为弹性曲线的微分方程式，在不能让 通解的全部 积分常数都等于零的条件下得到稳定方程式，从而得出临界力。 除临界平衡法外还有能量法确定临界力。 式(13.1)是端士科学家 L·欧拉(L.Euler）在 1744 年提出的，所以叫做欧 拉公式。人们把两端铰支的理想压杆称为欧拉压杆，称为 2 2 l EI 为欧拉荷载。 3、 杆端约束的影响 对于各种杆端约束情况的弹性压杆，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微 分方程和边界条件都可能各不相同，临界荷载的表达式也因此不同。现以图 13.5 的一端固定一端铰支压杆为例。当固端力矩为 M0 ，根据杆件的整体平衡条件， 两端有水平反力 M / l 0 。取 x 截面以下部分为分离体如图ｂ，以 x 截面的形心为 矩心建立力矩平衡方程得 M F w M x /l = P − 0 再由 M = −EIw" 得微分方程 EIw" F w M x /l + P = 0 或 EIl M x w k w 2 0 "+ = 式中 /( ) P 2 k = F EI ，微分方程的解是 l x F M w = C kx+C kx+ P 0 1 2 cos sin
Fp M M6/ 图13.5 由边界条件 (1)当x=0时,w(0)=0 得 CI 于是 Fp I lcos kl 再由边界条件 得稳定方程 tan kl=kl 此方程的最小非零解为 k=4.493 由此得 20.2EI丌2El Fp 和 1.02sm(449)
图 13.5 由边界条件 （1）当 x ＝０时， w （０）＝０ （2）当 x＝l 时， dx dw ＝０ 得 C1 ＝０， C2 ＝ F kl kl M cos 1 P 0 − 于是 w= kl kl kx l x F M cos sin ( P 0 − ） 再由边界条件 当 x＝l 时， w ＝０ 得稳定方程 tan kl = kl 此方程的最小非零解为 kl＝4.493 由此得 2 2 Pcr 2 (0.7 ) 20.2 l EI l EI F = = 和 w= [ 1.02sin( 4.49 )] P 0 l x l x F M +
丌E El E (0.71) 5l 4=0.5 图13.6 图13.6所示几种常见的杆端约束情况的临界力和弹性曲线形式,都是由微 分方程法推导而得。它们的临界力表达式可统一写成 或FP 丌E (13.3) (p)2 其中: l0=山l (13.4) l称为压杆的计算长度或有效长度。l是实际长度,μ叫做长度系数。 (a)一端自由一端固定压杆 H=2,l=2l (b)两端铰支压杆 =1,l (c)一端固定一端铰支压杆=0.7,b=0.7l (d)一端固定一端夹支压杆 =0.5,l0=0.51 实际支承应简化成什么样的计算简图,它的计算长度如何确定,设计时都必须遵 循设计规范。 4、临界应力曲线 当中心压杆所受压力等于临界力而仍旧直立时,其横截面上的压应力称为临 界应力,以记号σ。表示,设横截面面积为A,则 E 但=12,i是截面的回转半径,于是得
图 13.6 图 13.6 所示几种常见的杆端约束情况的临界力和弹性曲线形式，都是由微 分方程法推导而得。它们的临界力表达式可统一写成 2 0 2 Pcr l EI F = 或 2 2 Pcr ( l) EI F = （13.3） 其中： 0 l ＝ l （13.4） 0 l 称为压杆的计算长度或有效长度。l 是实际长度， 叫做长度系数。 (ａ）一端自由一端固定压杆 2, l 2l = 0 = (ｂ）两端铰支压杆 = 1, l = l 0 (ｃ）一端固定一端铰支压杆 = 0.7, l 0.7l 0 = (ｄ）一端固定一端夹支压杆 0.5, l 0.5l = 0 = 实际支承应简化成什么样的计算简图，它的计算长度如何确定，设计时都必须遵 循设计规范。 4、 临界应力曲线 当中心压杆所受压力等于临界力而仍旧直立时，其横截面上的压应力称为临 界应力，以记号 cr 表示，设横截面面积为 A ，则 A I l E A F = = 2 0 2 Pcr cr （13.5） 但 2 i A I = ，i 是截面的回转半径，于是得
ei 令 lo/i=a 称为压杆的长细比或柔度,于是有 E (13.7) 对同一材料而言,x2E是一常数,因此值决定着o的大小,长细比越 大,临界 应力σ越小。式(13.7)是欧拉公式的另一形式。 欧拉公式适用范围: 若压杆的临界力已超过比例极限σp,胡克定律不成立,这时式(13.2)中 的式(b) M(x)=E//p不能成立,从而式(c)也不能成立。所以欧拉公式的适用范围是 临界应力 不超过比例极限,即 Ga≤G1 对于某一压杆,当临界力未算出时,不能判断式(13.8)是否满足;能否在 计算临界力之前,预先判断哪一类压杆的临界应力不超过比例极限,哪一类压杆 的临界点应力将超过临界应力,哪一类压杆不发生失稳而只有强度问题?回答是 肯定的。 若用λ的最小值表示欧拉公式的适用范围,则 IZe p (13.9) 以λ为横坐标轴,σa为纵坐标轴,则欧拉公式(13.7)的图象是一条双曲线, 如图13.7a所示,其中只有实线部分适用,虚线部分表示中柔度压杆,这类压 杆横截面上的应力已经超过比例极限,故称为非弹性屈曲。 与压杆的材料有关,对于 3号钢: E≈210GPa,σn≈200MPa, E p 3) 200 镍钢(含镍3.5%) E≈2.15×103MPa,a1≈490MPa
2 0 2 2 cr l Ei = 令 l 0 /i = （13.6） λ，称为压杆的长细比或柔度，于是有 2 2 cr E = （13.7） 对同一材料而言， E 2 是一常数，因此 值决定着 cr 的大小，长细比 越 大，临界 应力 Pcr 越小。式（13.7）是欧拉公式的另一形式。 欧拉公式适用范围： 若压杆的临界力已超过比例极限 P ，胡克定律不成立，这时式（13.2）中 的式（ｂ） M (x) = EI / ρ 不能成立，从而式（ｃ）也不能成立。所以欧拉公式的适用范围是 临界应力 不超过比例极限，即 cr P （13.8） 对于某一压杆，当临界力未算出时，不能判断式（13.8）是否满足；能否在 计算临界力之前，预先判断哪一类压杆的临界应力不超过比例极限，哪一类压杆 的临界点应力将超过临界应力，哪一类压杆不发生失稳而只有强度问题？回答是 肯定的。 若用 的最小值 P 表示欧拉公式的适用范围，则 ≥ P 2 E = P （13.9） 以 为横坐标轴， cr 为纵坐标轴，则欧拉公式（13.7）的图象是一条双曲线， 如图 13.7ａ所示，其中只有实线部分适用，虚线部分表示中柔度压杆，这类压 杆横截面上的应力已经超过比例极限，故称为非弹性屈曲。 P 与压杆的材料有关，对于 3 号钢： E ≈210GPa， P ≈200MPa， P ＝ 102 200 (210 10 ) 2 3 P 2 = = E 镍钢(含镍 3.5％) E ≈2.15× 5 10 MPa， P ≈490 MPa