重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第九章绪论.doc_大学文库

点处的三个主应力,通常按其代数值依次用1≥a2≥a3来表示,如图(c) 中a、d单元体,虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力,但须分别用σ1,a3表示。根据一点处存在几个不为零的主应力,可以将应力状态分为三类 1)单向(或简单)应力状态:三个主应力中只有一个主应力不为零,如图 9.2(a)所示。 2)二向应力状态:三个主应力中有两个主应力不为零,如图9.2(b)所示。 3)三向(或空间)应力状态:三个主应力均不为零,如图9.2(c)所示 (a) 图单向及二向应力状态常称为平面应力状态( plane state of stresses)。二向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。因为,一个单向应力状态与另一个单向应力状态叠加,可能是单向、二向或零应力状态;一个单向应力状态与一个向应力状态叠加,可能是单向、二向或三向应力状态;……。也就是说,一个应状态与另一个应力状态叠加,不一定属于原有应力状态对于平面应力状态,由于必有一个主应力为零的主方向,可以用与该方向相垂直的平面单元来表示单元体,例如图9.1(c)示各单元体,可以用图9.1(d) 示平面单元表示。这时,应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度在材料力学中所遇到的应力状态,主要为平面应力状态。本章重点讨论平面应力状态有关问题。 2、平面应力状态分析在本节中,将介绍在平面应力状态下,如何根据单元体各面上的已知应力来确定任意斜截面上的应力。在以下讨论中,取平面单元位于xy平面内,如图9.3(a)所示。已知x面 (法线平行x轴的面)上的应力a及τ,y面(法线平行于y轴的面)上有应力σ、及τx。根据切应力互等定理rs=r、。现在需要求与z轴平行的任意斜截面ab上的应力。设斜截面ab的外法线n与x轴成a角,以后简称该斜截面为a 面,并用aa及xa分别表示a面上的正应力及切应力。将应力、a角正负号规定为 a角:从x方向反时针转至a面外法线n的a角为正值;反之为负值。a角的取值区间为[0,x或[-z/2,x/2]

一点处的三个主应力，通常按其代数值依次用  1  2  3 来表示，如图（c）中 a、d 单元体，虽然它们都只有一个不为零且绝对值相等的主应力，但须分别用  1， 3 表示。根据一点处存在几个不为零的主应力，可以将应力状态分为三类： 1）单向（或简单）应力状态：三个主应力中只有一个主应力不为零，如图 9.2（a）所示。 2）二向应力状态：三个主应力中有两个主应力不为零，如图 9.2（b）所示。 3）三向（或空间）应力状态：三个主应力均不为零，如图 9.2（c）所示。图 9.2 单向及二向应力状态常称为平面应力状态（plane state of stresses）。二向及三向应力状态又统称为复杂应力状态。因为，一个单向应力状态与另一个单向应力状态叠加，可能是单向、二向或零应力状态；一个单向应力状态与一个二向应力状态叠加，可能是单向、二向或三向应力状态；……。也就是说，一个应状态与另一个应力状态叠加，不一定属于原有应力状态。对于平面应力状态，由于必有一个主应力为零的主方向，可以用与该方向相垂直的平面单元来表示单元体，例如图 9.1（c）示各单元体，可以用图 9.1（d）示平面单元表示。这时，应将零主应力方向的单元体边长理解为单位长度。在材料力学中所遇到的应力状态，主要为平面应力状态。本章重点讨论平面应力状态有关问题。 2、平面应力状态分析在本节中,将介绍在平面应力状态下，如何根据单元体各面上的已知应力来确定任意斜截面上的应力。在以下讨论中，取平面单元位于 xy 平面内，如图 9.3（a）所示。已知 x 面（法线平行 x 轴的面）上的应力  x 及 xy  ，y 面（法线平行于 y 轴的面）上有应力  y 及 y x  。根据切应力互等定理 xy yx  = 。现在需要求与 z 轴平行的任意斜截面 ab 上的应力。设斜截面 ab 的外法线 n 与 x 轴成  角，以后简称该斜截面为  面，并用  α 及 α  分别表示  面上的正应力及切应力。将应力、  角正负号规定为：  角：从 x 方向反时针转至  面外法线 n 的  角为正值；反之为负值。  角的取值区间为 [0, ] 或 [− / 2,  / 2]

可见，在平面应力状态下，一点处与 z 轴平行的两相互垂直面上的正应力的代数和是一个不变量。由式（9.1）可知，斜截面上的应力   、   均为  角的函数，即它们的大小和方向随斜截面的方位而变化。现在来求它们的极限及平面应力状态的主应力。对于斜截面上的正应力   ，设极值时的  角为  0 ，由 d  / d = 0 得 ( )sin 2 2 cos 2 2 0 d d x y 0 xy 0 0 = − − − = −  =          可见，   取极值的截面上切应力为零，即   的极值便是单元体的主应力。这时的  0 可由上式求得为： x y xy 0 2 tan 2     − − = （9.3）式（9.3）的  0 在取值区间内有两个根  0 及   0 90 ，它说明与   有关的两个极值（主应力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（9.3）求  0 时，可以视 tan 2 ( 2 )/( ) 0 xy  x  y  = −  − ，并按 ( 2 ) xy −  、 x − y、( 2 )/( ) xy  x  y −  − 的正负号来判定 2 0 sin  、 2 0 cos  、 2 0 tan  的正负符号，从而唯一地确定 2 0 或  0 值。于是有 2 xy 2 x y xy 0 ( ) 4 2 sin 2      − + − = ， 2 xy 2 x y x y 0 ( ) 4 cos 2       − + − = 0 2 0 sin 2( 90 ) = −sin   ， 0 2 0 cos2( 90 ) = −cos   将以上各式代入式（9.1）的第一式，得   的两个极值  max （对应  0 面）、  min （对应   0 90 面）为： 2 xy 2 x y x y min max 2 2       +         −  + = （9.4）可以证明，式（9.4）中 max  的指向，是介于仅由单元体切应力 yx  = xy 产生的主拉应力指向（与 x 轴夹角为  45 或  −45 ）与单元体正应力 σ x 、σ y 中代数值较大的一个正应力指向之间。式（9.4）的  max 、 min 为平面应力状态一点处三个主应力中的两个主应力，它的另一个主应力为零。至于如何根据这三个主应力来排列  1、 2 、 3 的次序

应视  max 、 min 的具体数值来决定。平面应力状态下，切应力极值可按下述方法确定。设极值时的  角为  0 ，由 d α / d = 0 得： xy x y 0 2 tan 2     − = （9.5）比较式（9.3）和式（9.5），有 tan 20 tan 2 0 = −1 ，可见   0 = 0 + 45 ，即斜截面上切应力  α 的极值作用面与正应力 α 的极值作用面互成  45 夹角。将由式（9.5）确定的代入式（9.1）的第二式，可以求得斜截面上切应力极值  max （对应  0 ）、  min （对应   0 + 90 ）为： 2 2 2 max min xy 2 x y min max       − + =          − =  （9.6）这说明，斜截面上切应力极值的绝对值，等于该点处两个正应力极值差的绝对值的一半。另外，由式（9.5）可得 ( x − v ) cos 2 0 − 2 xy sin 2 0 = 0 ，代入式（9.1）第一式得： 2 y θ 0 0 90      + = = + x  （9.7）可见在  α 极值作用面上的正应力相等，且为  x 、 y 的平均值。 2.2 图解（莫尔圆）法平面应力状态分析，也可采用图解的方法。图解法的优点是简明直观，勿须记公式。当采用适当的作图比例时，其精确度是能满足工程设计要求的。这里只介绍图解法中的莫尔圆法，它是 1882 年德国工程师莫尔（O. Mohr）对 1866 年德国库尔曼（K. Culman）提出的应力圆作进一步研究，借助应力圆确定一点应力状态的几何方法。 2.2.1 应力圆方程将式（9.1）改写为：        + − = − − = + −                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y （a）于是，由上述二式得到一圆方程： 2 x y 2 x y 2 2 x y 2 2           +         − + =         + −          （b）

据此，若已知  x 、 y 、 xy ，则在以  为横坐标，  为纵坐标轴的坐标系中，可以画出一个圆，其圆心为 ,0) 2 (  x + y ，半径为 2 xy 2 x y 2    +         − 。圆周上一点的坐标就代表单元体一个斜截面上的应力。因此，这个圆称为应力圆或莫尔圆（Mohr circle for stresses）。图 9.4 2.2.2 应力圆的画法在已知  x 、 y 及  xy （图 9.4（a）），作相应应力圆时，先在  − 坐标系中，按选定的比例尺，以(  x , xy )、(  y , − xy )为坐标确定 x（对应 x 面）、y（对应 y 面）两点，（在应力圆中，正应力以拉应力为正，切应力以与其作用面外法线顺时钟转向  90 后的方向一致时为正）。然后直线连接 x、y 两点交  轴于 C 点，并以 C 点圆心，以 Cx 或 Cy 为半径画圆，此圆就是应力圆，如图 9.4（b）。从图中不难看出，应力圆的圆心及半径，与式（b）完全相同。 2.2.3 几种对应关系应力圆上的点与平面应力状态任意斜截面上的应力有如下对应关系： 1）点面对应应力圆上某一点的坐标对应单元体某一方面上的正应力和切应力值。如图（9.4（a））上的 n 点的坐标即为斜截面  面的正应力和切应力。 2）转向对应应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，斜截面外法线亦沿相同方向旋转，才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。 3）二倍角对应应力圆上半径转过的角度，等于斜截面外法线旋转角度的两倍。因为，在单元体中，外法线与 x 轴间夹角相差  180 的两个面是同一截面，而应力圆中圆心角相差  360 时才能为同一点。 2.2.4 应力圆的应用 1）应用应力圆能确定任意斜截面上应力的大小和方向。如果欲求  面上的应力 α 及  α ，则可从与 x 面对应的 x 点开始沿应力圆圆周逆时针向转 2  圆心角

至n点,这时n点的坐标便同外法线与x轴成a角的a面上的应力对应。aa的方向按如下方法确定:过x点作a轴的平行线交应力圆于P点,以P为极点,连接 P两点,则射线Pn便为n点对应截面的外法线方向,即为的an方位线。 2)确定主应力的大小和方位。应力圆与a轴的交点1及2点,其纵坐标(即切应力)为零,因此,对应的正应力便是平面应力状态的两个正应力极值,但是, 在图9.4示情况,因σm>omn>0,所以用单元体主应力a、a2表示,这时的a3 应为零。至于在别的情况时,图9.4(b)中的1、2点应取1、2、3中的哪两个数,按类似原则确定。主应力的方位按如下方法确定:从极点P至1点引射线P 为a1作用面外法方向,P2为主应力a2作用面的外法线方向。从图9.4(b)中不难看出,主应力a1、a2的作用面(主平面)的外法线(主方向)相互垂直由图9.4(b)不难看出,应力圆上的h、2两点,是与切应力极值面(a0面和a+90°面)上的应力对应的。不难证明:正应力极值面与切应力极值面互成45 的夹角。 3、三向应力状态的最大应力组成工程结构物的构件都是三维体,能按材料力学方法进行受力分析的,只是一般三维构件的特殊情况,但属三维问题。既然这样,在建立强度条件时,必须按三维考虑才符合实际。因此,在研究了三向应力状态的一种特殊情况一一平面应力状态后,还应将它们返回到三向应力状态,作进一步的分析,才能符合工程实际。另外,在工程中还是存在不少三向应力状态的问题。例如,在地层的定深度处的单元体(图9.5),在地应力作用下便是处于三向应力状态;滚珠轴承中的滚珠与外环接触处、火车轮与轨道接触处,也是处于三向应力状态的图9.5 本节只讨论三个主应力σ1≥23均已知的三向应力状态,对于单元体各面上既有正应力,又有切应力的三向应力状态,可以用弹性力学方法求得这三个主应力。对于材料力学中的问题,可以用9.2节的方法以求得三个主应力a1、a2及

至 n 点，这时 n 点的坐标便同外法线与 x 轴成  角的  面上的应力对应。 α 的方向按如下方法确定：过 x 点作  轴的平行线交应力圆于 P 点，以 P 为极点，连接 Pn 两点，则射线 Pn 便为 n 点对应截面的外法线方向，即为的 α 方位线。 2）确定主应力的大小和方位。应力圆与  轴的交点 1 及 2 点，其纵坐标（即切应力）为零，因此，对应的正应力便是平面应力状态的两个正应力极值，但是，在图 9.4 示情况，因  max  min  0 ，所以用单元体主应力 1、 2 表示，这时的 3 应为零。至于在别的情况时，图 9.4（b）中的 1、2 点应取 1、2、3 中的哪两个数，按类似原则确定。主应力的方位按如下方法确定：从极点 P 至 1 点引射线 P1 为 1 作用面外法方向， P2 为主应力  2 作用面的外法线方向。从图 9.4（b）中不难看出，主应力 1、 2 的作用面（主平面）的外法线（主方向）相互垂直。由图 9.4（b）不难看出，应力圆上的 1 t 、 2 t 两点，是与切应力极值面（ 0 面和   0 + 90 面）上的应力对应的。不难证明：正应力极值面与切应力极值面互成  45 的夹角。 3、三向应力状态的最大应力组成工程结构物的构件都是三维体，能按材料力学方法进行受力分析的，只是一般三维构件的特殊情况，但属三维问题。既然这样，在建立强度条件时，必须按三维考虑才符合实际。因此，在研究了三向应力状态的一种特殊情况——平面应力状态后，还应将它们返回到三向应力状态，作进一步的分析，才能符合工程实际。另外，在工程中还是存在不少三向应力状态的问题。例如，在地层的一定深度处的单元体（图 9.5），在地应力作用下便是处于三向应力状态；滚珠轴承中的滚珠与外环接触处、火车轮与轨道接触处，也是处于三向应力状态的。图 9.5 本节只讨论三个主应力  1  2  3 均已知的三向应力状态，对于单元体各面上既有正应力，又有切应力的三向应力状态，可以用弹性力学方法求得这三个主应力。对于材料力学中的问题，可以用 9.2 节的方法以求得三个主应力  1、 2 及  3

图 9.6 对于图 9.6（a）示已知三个主应力的主单体，可以将这种应力状态分解为三种平面应力状态，分析平行于三个主应力的三组特殊方向面上的应力。在平行于主应力  1 的方向面上，可视为只有  2 和  3 作用的平面应力状态；在平行于主应力  2 的方向面上可视为只有  1 和  3 作用的平面应力状态；在平行于主应力  3 的方向面上，可视为只有  1 和  2 作用的平面应力状态。并可绘出图（b）示三个应力图，并称为三向应力状态应力圆（stress circle of three dimensional stress state）。用弹性力学方法可以证明，主单元体中任意斜截面上的正应力及切应力，必位于以这三个应力圆为界的阴影区内。由三向应力圆可以看出，在三向应力状态下，代数值最大和最小的正应力为：  max = 1，  min =  3 （9.8）而最大切应力为 2 1 3 max    − = （9.9）式（9.8）、（9.9）也适用于三向应力状态的两种特殊情况：二向应力状态及单向应力状态。 4、广义胡克定律 • 体应变在后续课程中要考虑单元体的变形，本节将讨论应力与应变间的关系。 4.1 广义胡克定律在三向应力状态下主单元体同时受到主应力  1、 2 及  3 作用，如图 9.6（a）所示。这时，我们把沿单元体主应力方向的线应变称为主应变（principal strain），习惯上分别用  1、 2 及  3 来表示。对于连续均质各向同性线弹性材料，可以将这种应力状态，视为三个单向应力状态叠加来求主应变。由工程力学Ⅰ知，在  1 单独作用下，沿主应力  1、 2 及  3 方向的线应变分别为： E ' 1 1   = ， E ' 1 2   = ， E ' 1 3   = 式中 E、 为材料的弹性模量及泊松比（Poisson ratio）。同理，在  2 和  3 单独作用时，上述应变分别为：

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