重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第十四章 杆件的应变能及其应用

第十四章杆件的应变能及其应用 、教学目标和教学内容 1.教学目标 让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。 理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能,也能够完成应变能的计算。 能够较为熟练地应用卡氏第二定理,完成杄件的位移计算,并可以求解简单 超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中,学习和应用能量方法奠定基础 2.教学内容 介绍能量法的有关概念。例如,外力的功、应变能、比能等等。 介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 、重点难点 重点:建立应变能等有关概念 基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算 卡氏第二定理及其应用。 难点:杆件应变能计算中的可否叠加问题。 对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。 应用卡氏第二定理求位移时,如何正确地选取或设定与位移相应的 广义力。 能否正确写出内力方程,灵活地进行先求偏导数再积分的运算。 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 五、讲课提纲 1、弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形,外力作用点要产生位移.因此,在弹性 体的变形过程中,外力沿其作用方向做了功,称为外力功。对于弹性体,因为变 形是可逆的,外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时 该能量又将重新释放出来作功,使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发 条在被拧紧的过程中,发生了弹性变形而积蓄了能量,在它放松的过程中可带动 指针转动,从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量,从而具有对外 界作功的潜在能力,通常把这种形式的能量称为弹性应变能( DIastic strain

第 十 四 章 杆件的应变能及其应用 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 让学生掌握杆件弹性应变能的有关概念。 理解和掌握在工程力学有广泛应用的能量方法。 掌握功能原理、功的互等定理、位移互等定理、卡氏定理。 能够熟练地计算基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能。 对于简单结构应变能，也能够完成应变能的计算。 能够较为熟练地应用卡氏第二定理，完成杆件的位移计算，并可以求解简单 超静定问题。为进一步在结构力学等后续课程中，学习和应用能量方法奠定基础。 2．教学内容 介绍能量法的有关概念。例如，外力的功、应变能、比能等等。 介绍基本变形杆件应变能计算和组合变形杆件应变能计算。 讲解功能原理、功的互等定理和位移互等定理。 讲解余能概念和卡氏定理。 二、重点难点 重点：建立应变能等有关概念。 基本变形杆件和常见的组合变形杆件的应变能的计算。 卡氏第二定理及其应用。 难点：杆件应变能计算中的可否叠加问题。 对于广义力和相应广义位移的正确理解和认识。 应用卡氏第二定理求位移时，如何正确地选取或设定与位移相应的 广义力。 能否正确写出内力方程，灵活地进行先求偏导数再积分的运算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6 学时 五、讲课提纲 1、弹性应变能与功能原理 弹性体在荷载作用下将发生变形，外力作用点要产生位移．因此，在弹性 体的变形过程中，外力沿其作用方向做了功，称为外力功。对于弹性体，因为变 形是可逆的，外力功将以一种能量形式积蓄在弹性体内部。当将荷载逐渐卸除时， 该能量又将重新释放出来作功，使弹性体恢复到变形前的形状。例如钟表里的发 条在被拧紧的过程中，发生了弹性变形而积蓄了能量，在它放松的过程中可带动 指针转动，从而发条就作了功。弹性体伴随弹性变形积蓄了能量，从而具有对外 界作功的潜在能力，通常把这种形式的能量称为弹性应变能（Dlastic strain

energy)或弹性变形能( Plastic deformation energy),用V表示。 根据物理学中的功能原理,积蓄在弹性体内的应变能V及能量损耗ΔE 在数值上应等于荷载所作的功,即 J+△E= 如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计,应有 (14.1) 利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法,相应 的基本原理统称为功能原理( Principle for work and energy)。弹性体的功能 原理的应用非常广泛,它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论 基础 2、杆件的应变能计算 如前所述,若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性 体内,即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失,则只要得到加载过程中外力 功的数值,弹性体应变能的数值也就可以计算出来,所以说外力功是应变能的 种度量。 2.1外力功的计算 外力作功分为以下两种情况。 种情况为常力作功。这里所谓常力,是指工程动力学中,作用在不变形 的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时,它所作的功等 于外力与其相应位移的乘积。例如,在沿外力F方向线上有线位移Δ,则 W=F·△ 另一种情况为静荷载作功。所谓静荷载,是指构件所承受的荷载从零开始 缓慢地増加到最终值,然后不随时间改变。所以静荷载的施加过程均为变力。静 荷载作功,可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。例如图14.1所示的简 单受拉杆,拉力由零逐渐增加到定值F,由F产生的伸长变形由零逐渐增加到 M,这就是拉力F的作用点的位移。如果材料服从胡克定律,则外力F与位移Δ 成线性关系(图14.2a)。设F表示加载过程中拉力的一个值,相应的位移为M1, 此时将拉力增加一微量d,使其产生相应的位移增量d(Δ1),这时,已经作用 在杆上的拉力F将在该位移增量上作全功,其值为 dW=F1·d(M1) (14.2)

energy）或弹性变形能（Dlastic deformation energy），用 V 表示。 根据物理学中的功能原理，积蓄在弹性体内的应变能 V 及能量损耗 E 在数值上应等于荷载所作的功，即 V + E = W 如果在加载过程中动能及其它形式的能量损耗不计，应有 V = W （14.1） 利用上述的这种功能概念解决固体力学问题的方法统称为能量法，相应 的基本原理统称为功能原理（Principle for work and energy）。弹性体的功能 原理的应用非常广泛，它是目前在工程中得到广泛应用的有限单元法的重要理论 基础。 2 、杆件的应变能计算 如前所述，若外力在加载过程中所作的功全部以应变能的形式积蓄在弹性 体内，即在加载和卸载的过程中能量没有任何损失，则只要得到加载过程中外力 功的数值，弹性体应变能的数值也就可以计算出来，所以说外力功是应变能的一 种度量。 2.1 外力功的计算 外力作功分为以下两种情况。 一种情况为常力作功。 这里所谓常力，是指工程动力学中，作用在不变形 的刚体上使刚体产生运动的力。当外力在作功过程中保持不变时，它所作的功等 于外力与其相应位移的乘积。例如，在沿外力 F 方向线上有线位移  ，则 W = F  另一种情况为静荷载作功。所谓静荷载，是指构件所承受的荷载从零开始 缓慢地增加到最终值，然后不随时间改变。所以静荷载的施加过程均为变力。静 荷载作功，可以解释为在其施加过程中的一种变力作功。例如图 14.1 所示的简 单受拉杆，拉力由零逐渐增加到定值 F ，由 F 产生的伸长变形由零逐渐增加到 l ，这就是拉力 F 的作用点的位移。如果材料服从胡克定律，则外力 F 与位移 l 成线性关系（图 14.2 a ）。设 F1 表示加载过程中拉力的一个值，相应的位移为 1 l ， 此时将拉力增加一微量 dF1 ，使其产生相应的位移增量 ( )1 d l ，这时，已经作用 在杆上的拉力 F1 将在该位移增量上作全功，其值为 =  dW F1 ( )1 d l （14.2）

FP I 图14.1 在上式中略去了在d(△)上作的功,这部分功为二阶微量。dW在图 14.2a中以阴影面积来表示。拉力从零增加到F的整个加载过程中所作的总功则 为这种单元面积的总和,也就是△OAB的面积,即 F1·d(△1 上述积分是与静荷载施加过程有关的积分,可以称为静荷载作功的过程积 分。积分结果的系数1/2,既是已经完成过程积分的标志,又表示构件材料为线 性弹性材料。将以上的分析推广到其它的受力情况,因而静荷载下外力功的计算 式可写为 A a 0 d(△1) △t (b 图14.2

图 14.1 在上式中略去了 dF1 在 ( )1 d l 上作的功，这部分功为二阶微量。 dW 在图 14.2 a 中以阴影面积来表示。拉力从零增加到 F 的整个加载过程中所作的总功则 为这种单元面积的总和，也就是 OAB 的面积，即 =   F W F 0 1 ( )1 d l = Fl 2 1 上述积分是与静荷载施加过程有关的积分，可以称为静荷载作功的过程积 分。积分结果的系数 1/2，既是已经完成过程积分的标志，又表示构件材料为线 性弹性材料。将以上的分析推广到其它的受力情况，因而静荷载下外力功的计算 式可写为 W = F   2 1 （14.3） 图 14.2

V=W=F1d(M)=F△ 式中的F是广义力,它可以是集中力或集中力偶;Δ是与广义力F相对应的 位移,称为广义位移,它可以是线位移或角位移。上式表明,当外力是由零逐渐 增加的变力时,在符合胡克定律的范围内,外力在其相应位移上所作的功,等于 外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。 2.2杆件的应变能计算 2.2.1应变能的有关概念 按照功能原理,应变能可以由计算外力的功得到,这是应变能的一种计算方 V=F·d(△) 同时,也表明线弹性材料杆件的应变能,在完成了过程积分,也始终具有 1/2系数。 VE=W=LF d(Al)=FAl 应变能和外力的功,它们在杆件受力变形过程中的积累,也可以由荷载 伸长图和应力应变图(见图14.2)考察到 vE=o dE=08 2.2.2杆件的应变能计算 2.2.2.1杆件在各种基本变形时应变能的计算 如前所述,应变能是根据能量守衡原理通过外力功来计算的。以下我们讨论 的均为静荷载问题,动能和其他能量的损耗不讠 1.轴向拉伸或压缩杆的应变能及比能 当拉(压)杆的变形处于线弹性范围内时,外力所作的功为 则杆内的应变能为 由图14.1知,杆件任一横截面上的轴力

式中的 F 是广义力，它可以是集中力或集中力偶；  是与广义力 F 相对应的 位移，称为广义位移，它可以是线位移或角位移。上式表明，当外力是由零逐渐 增加的变力时，在符合胡克定律的范围内，外力在其相应位移上所作的功，等于 外力最终值与相应位移最终值乘积的一半。 2.2 杆件的应变能计算 2.2.1 应变能的有关概念 按照功能原理，应变能可以由计算外力的功得到，这是应变能的一种计算方 法。 同时，也表明线弹性材料杆件的应变能，在完成了过程积分，也始终具有 1/2 系数。 应变能和外力的功，它们在杆件受力变形过程中的积累，也可以由荷载 伸长图和应力应变图(见图 14.2)考察到。 2.2.2 杆件的应变能计算 2.2.2.1 杆件在各种基本变形时应变能的计算 如前所述，应变能是根据能量守衡原理通过外力功来计算的。以下我们讨论 的均为静荷载问题，动能和其他能量的损耗不计。 1. 轴向拉伸或压缩杆的应变能及比能 当拉（压）杆的变形处于线弹性范围内时，外力所作的功为 W = Fl 2 1 则杆内的应变能为 V = W = Fl 2 1  由图 14.1 知，杆件任一横截面上的轴力 FN = F V F d l F l V W l = •  =  =  2 1 ( ) 1 0  1  V W F d l F l l = =   =   2 1 ( ) 1 0  1       2 1 1 0 = 1  =  d V W F d l F l l = =   =   2 1 ( ) 1 0  1

考虑到胡克定律有 所以,拉(压)杆的应变能为 (14.4a) 2EA 或 =E4△ 14.4b) 若外力较复杂,轴力沿杆轴线为变量F(x),可以先计算长度为d 微段内的应变能,再按积分的方法计算整个杆件的应变能,即 dvs Fw(r)dx 2EA =(x (14.5) 2EA 为了对构件的弹性变形能有更全面的了解,我们不但要知道整个构件所 能积蓄的应变 能,而且要知道杆的单位体积内所能积蓄的应变能。对于承受均匀拉力的杆 (图14.1),杆内各部分的受力和变形情况相同,所以每单位体积内积蓄的应变 能相等,可用杆的应变能V除以杆的体积V来计算。这种单位体积内的应变能, 称为应变比能( Density of strain energy),简称比能,并用v表示,于是 Al 可见应变比能v的数值也可以用aE图中△Ob的面积来表示(图14.2b)。 根据胡克定律σ=EE,比能又可以写成下列形式 Ea (14.6) 2E2

考虑到胡克定律有 EA F l l N  = 所以，拉（压）杆的应变能为 EA F l V N 2 2  = （14.4 a ） 或 l EA l V 2 ( ) 2   = （14.4 b ） 若外力较复杂，轴力沿杆轴线为变量 F (x) N ，可以先计算长度为 dx 微段内的应变能，再按积分的方法计算整个杆件的应变能，即 dV = EA F x dx N 2 ( ) 2  = l N EA F x dx V 2 ( ) 2  （14.5） 为了对构件的弹性变形能有更全面的了解，我们不但要知道整个构件所 能积蓄的应变 能，而且要知道杆的单位体积内所能积蓄的应变能。对于承受均匀拉力的杆 （图 14.1），杆内各部分的受力和变形情况相同，所以每单位体积内积蓄的应变 能相等，可用杆的应变能 V 除以杆的体积 V 来计算。这种单位体积内的应变能， 称为应变比能（Density of strain energy），简称比能，并用  v 表示，于是  v V V = Al F l N 2 1 = =  2 1 可见应变比能  v 的数值也可以用  ~ 图中 Oab 的面积来表示（图 14.2 b ）。 根据胡克定律  = E ，比能又可以写成下列形式  v = 2 2 2 1 2 2    E E = = （14.6）

2.剪切变形时的应变能及比能 为了分析的方便,从受剪切杆中截取如图14.3a所示的单元体,该单元体处 于纯剪切应力状态,假想其在一个面(如左侧面)上被固定起来,则在剪应力由 零逐渐增加到τ值的过程中,单元体将发生如图所示的变形,与此对应的剪应变 由零增加到γ值,其右侧面向下的位移为△=yx。当材料在线弹性范围内工作 时,其τ与y成正比(图14.3b),与图14.2a、b中所示受拉杆的相应图形类 似。所以,单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为 dw=-(rdyd=).A=-(royde(rdx) 上式中,作功的力是单元体右侧面上的剪力。由于剪应变y很小,其余各面 上的剪力,在其作用方向上没有位移,都没有在其作用方向上作功。故单元体内 积蓄的应变能为 TI (a) (b) 图14.3 d=、l 单元体内积蓄的应变比能则为 这表明,ν等于r^γ直线下的面积。由剪切胡克定律r=Gy,比能又可以 写成下列形式

2．剪切变形时的应变能及比能 为了分析的方便，从受剪切杆中截取如图 14.3 a 所示的单元体，该单元体处 于纯剪切应力状态，假想其在一个面（如左侧面）上被固定起来，则在剪应力由 零逐渐增加到  值的过程中，单元体将发生如图所示的变形，与此对应的剪应变 由零增加到  值，其右侧面向下的位移为  = dx 。当材料在线弹性范围内工作 时，其  与  成正比（图 14.3 b ），与图 14.2 a、b 中所示受拉杆的相应图形类 似。所以，单元体各表面上的剪力在单元体变形过程中所作的功为 = ( )  2 1 dW dydz ( )( ) 2 1 = dydz dx 上式中，作功的力是单元体右侧面上的剪力。由于剪应变  很小，其余各面 上的剪力，在其作用方向上没有位移，都没有在其作用方向上作功。故单元体内 积蓄的应变能为 图 14.3 dV = dW =   dV 2 1 单元体内积蓄的应变比能则为  v dV dV =  2 1 = 这表明，  v 等于  ~ 直线下的面积。由剪切胡克定律  = G ，比能又可以 写成下列形式

(14.7) 2G2 3.圆轴扭转时的应变能及比能 如图14.4a所示的受扭圆轴,若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值T 则在线弹性范围内,相对扭转角与扭转力偶矩T间的关系是一条直线(图 14.4b)。与轴向拉伸杆件相似,扭转圆轴的应变能应为 T a 图14.4 V=W=7 由于圆轴横截面上的扭矩M=T,且 M 所以,受扭圆轴的应变能为 GⅠ 实际上,受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态,因而可 以直接采用公式(14.7),求积分即得杆件的应变能。因为剪应力r=M,所

 v = 2 2 2 1 2 2    G G = = （14.7） 3. 圆轴扭转时的应变能及比能 如图 14.4 a 所示的受扭圆轴，若扭转力偶矩由零开始缓慢增加到最终值 T ， 则在线弹性范围内，相对扭转角  与扭转力偶矩 T 间的关系是一条直线（图 14.4 b ）。与轴向拉伸杆件相似，扭转圆轴的应变能应为 图 14.4 V W T 2 1 = = 由于圆轴横截面上的扭矩 M x = T ，且 P x GI M l  = 所以，受扭圆轴的应变能为 P x GI l M V 2 2 =  l GIP 2 2  = （14.8） 实际上，受扭圆轴中各点的应力状态均为纯剪切应力状态，因而可 以直接采用公式（14.7），求积分即得杆件的应变能。因为剪应力 P x I M   = ，所 以

d dad 2G(Ip)J4 2dA 2GIp 当扭矩M,沿轴线为变量时,上式变为 M-(x)dx gLp 可见利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广,该方法适用 于杆各横截面上内力变化(相应横截面上各点处的应力也不同)的情况。 4.弯曲变形时的应变能及比能 (1)纯弯曲梁 设如图14.5a所示的简支梁在两端的纵向对称平面内受到外力偶M0 作用而发生纯 弯曲,在加载过程中,梁的各橫截面上的弯矩均有M=M。,故梁在线弹性 范围内工作时,其轴线弯曲成为一段圆弧(图14.5a),两端横截面有相对的转 动,其夹角为 0 (b) 图14.5 且

V =   = V l A dAdx G vdV 2 2   =         = A P x P x GI M l dA I M G l 2 2 2 2 2  当扭矩 M x 沿轴线为变量时，上式变为  = l P x GI M x dx V 2 ( ) 2  （14.9） 可见利用比能计算全杆内积蓄的应变能应用范围更广，该方法适用 于杆各横截面上内力变化（相应横截面上各点处的应力也不同）的情况。 4. 弯曲变形时的应变能及比能 （1）纯弯曲梁 设如图 14.5 a 所示的简支梁在两端的纵向对称平面内受到外力偶 M0 作用而发生纯 弯曲，在加载过程中，梁的各横截面上的弯矩均有 M = M0 ，故梁在线弹性 范围内工作时，其轴线弯曲成为一段圆弧（图 14.5 a ），两端横截面有相对的转 动，其夹角为 图 14.5   l = 且

故 与前面的情况相似,在线弹性范围内,当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到M。 时,梁两端截面上相对转动产生的夹角也从零逐渐增加到θ,M与6的关系也是 斜直线(图14.5b),所以杆件纯弯曲变形时的应变能为 MI EI V=n M (14.10) (2)横力弯曲梁 在工程实际中,最常遇到的是受横力弯曲的梁(如图14.6a所示)。这时, 梁横截面上同时有剪力和弯矩,所以梁的应变能应包括两部分:弯曲应变能和剪 切应变能。由于剪力和弯矩通常均随着截面位置的不同而变化,都是x的函数, 因此,计算梁的应变能应从分析梁上长为d的微段开始(图14.6b) 在弯矩的作用下,微段产生弯曲变形,两端横截面有相对的转动(图 14.6c);在剪力的作用下,微段产生剪切变形,两端横截面有相对的错动(图 14.6d)。由于在小变形的情况下,弯曲正应力不会引起剪应变,剪应力也不会 引起线应变,或者说,由弯矩产生的位移与由剪力产生的位移互相垂直,因此, 可以先分别计算出弯矩和剪力在各自相应的变形位移上所作的功,然后根据叠加 原理将它们叠加起来。 但由于在工程中常用的梁往往为细长梁,与剪应力对应的剪切应变能,比与 弯矩对应的弯曲应变能小得多,可以不计,所以只需要计算弯曲应变能。 FPI FP? M(x/ I M(x)+dM(x) M(x M(x)+dM(x)) Foix) 图14.6

EI 1 M 0 =  故 EI M l 0  = 与前面的情况相似，在线弹性范围内，当弯曲外力偶矩由零逐渐增加到 M0 时，梁两端截面上相对转动产生的夹角也从零逐渐增加到  ，M0 与  的关系也是 斜直线（图 14.5 b ），所以杆件纯弯曲变形时的应变能为 V = W EI M l M l 2 2 1 2 0 = 0 = l EI 2 2  = （14.10） （2）横力弯曲梁 在工程实际中，最常遇到的是受横力弯曲的梁（如图 14.6 a 所示）。这时， 梁横截面上同时有剪力和弯矩，所以梁的应变能应包括两部分：弯曲应变能和剪 切应变能。由于剪力和弯矩通常均随着截面位置的不同而变化，都是 x 的函数， 因此，计算梁的应变能应从分析梁上长为 dx 的微段开始（图 14.6 b ）。 在弯矩的作用下，微段产生弯曲变形，两端横截面有相对的转动（图 14.6 c ）；在剪力的作用下，微段产生剪切变形，两端横截面有相对的错动（图 14.6 d ）。由于在小变形的情况下，弯曲正应力不会引起剪应变，剪应力也不会 引起线应变，或者说，由弯矩产生的位移与由剪力产生的位移互相垂直，因此， 可以先分别计算出弯矩和剪力在各自相应的变形位移上所作的功，然后根据叠加 原理将它们叠加起来。 但由于在工程中常用的梁往往为细长梁，与剪应力对应的剪切应变能，比与 弯矩对应的弯曲应变能小得多，可以不计，所以只需要计算弯曲应变能。 图 14.6

微段梁左右两端横截面上的弯矩应分别为M(x)和M(x)+dM(x)。在计算 其应变能时,弯矩增量dM(x)所作的功为二阶微量,可忽略不计,因此可将该微 段看作是纯弯曲的情况。应用式(14.10)可求得微段的弯曲应变能 d E 全梁的弯曲应变能则可积分上式得到 M(x)dx (14.11) 如果梁中各段内的弯矩M(x)由不同的函数表示,上列积分应分段进行,然后 再求其总和。 由以上各种变形形式下应变能的计算式可以看出,应变能是力的二 次函数,也是变形的二次函数。当构件同时受几个力(或力偶)作用时,能否用 叠加原理求应变能? 2.2.2.2复杂受力情况下应变能的计算 1.有关应变能的两个重要概念 (1)是否可以应用叠加原理计算应变能 下面以图14.7a所示的拉杆为例加以说明。拉杆在F、F,同时作 用下的应变能为 F+F,7 Fl FF,/ F (14.12) 2EA 2EA EA EA 而当F、F2单独作用时(图14.7b、c),杆的应变能分别为 FPI+FPz (b) 图14.7

微段梁左右两端横截面上的弯矩应分别为 M (x) 和 M (x) + dM (x) 。在计算 其应变能时，弯矩增量 dM (x) 所作的功为二阶微量，可忽略不计，因此可将该微 段看作是纯弯曲的情况。应用式（14.10）可求得微段的弯曲应变能 EI M x dx dV 2 ( ) 2  = 全梁的弯曲应变能则可积分上式得到  = l EI M x dx V 2 ( ) 2  （14.11） 如果梁中各段内的弯矩 M (x) 由不同的函数表示，上列积分应分段进行，然后 再求其总和。 由以上各种变形形式下应变能的计算式可以看出，应变能是力的二 次函数，也是变形的二次函数。当构件同时受几个力（或力偶）作用时，能否用 叠加原理求应变能？ 2.2.2.2 复杂受力情况下应变能的计算 1．有关应变能的两个重要概念。 （1）是否可以应用叠加原理计算应变能。 下面以图 14.7 a 所示的拉杆为例加以说明。拉杆在 F1、 F2 同时作 用下的应变能为 EA F l EA F F l EA F l EA F F l V 2 2 2 ( ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 = + + +  = （14.12） 而当 F1、 F2 单独作用时（图 14.7 b 、c ），杆的应变能分别为 图 14.7