第五章弯曲内力 一、教学目标和教学内容 1.教学目标 ①掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念; ②熟练掌握用截面法求弯曲内力; ③熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图; ④利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图; ⑤掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。 2.教学内容 ①平面弯曲等基本概念 ②截面法及简便方法求弯曲内力 ③剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图 ⊕用载荷集度、剪力和弯短间的微分关系绘制剪力图和弯矩图 ⑤叠加法绘制剪力图和弯矩图 重点难点 1、平面弯曲的概念 2、剪力和弯矩,剪力和弯矩的正负符号规则 3、剪力图和弯矩图 4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系; 5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 7学时
第 五 章 弯 曲 内 力 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 ①掌握弯曲变形与平面弯曲等基本概念； ②熟练掌握用截面法求弯曲内力； ③熟练列出剪力方程和弯矩方程并绘制剪力图和弯矩图； ④利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图； ⑤掌握叠加法绘制剪力图和弯矩图。 2．教学内容 ○1 平面弯曲等基本概念； ○2 截面法及简便方法求弯曲内力； ○3 剪力方程和弯矩方程、绘制剪力图和弯矩图； ○4 用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯矩图； ○5 叠加法绘制剪力图和弯矩图。 二、重点难点 1、平面弯曲的概念； 2、剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则； 3、剪力图和弯矩图； 4、剪力、弯矩和载荷集度的微分、积分关系； 5、叠加法绘制剪力图和弯矩图。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 7 学时
五、讲课提纲 1、平面言曲的念 弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷或位于纵向平面内的力偶作用下,相邻两横截面 绕垂直于轴线的轴发生相对转动的变形 梁:以弯曲为主要变形形式的构件 平面弯曲:杆变形之后的轴线所在平面与外力所在平面重合或平行的弯曲变形 2、梁的计算简图 2.1几何结构的简化 以梁的轴线来代替梁,忽略枃造上的枝节,如键槽、销孔、阶梯等 2.2载何的简化 载荷按作用方式可以简化成三类 1、集中力 按长度分布 2、分布载荷{按面积分布 按体积分布 3、集中力偶 2.3约束的简化 三种基本形式 1、可动铰支座 2、固定铰支座 3、固定端 2.4静定梁及其分类 1、简支梁 2、外伸梁 3、悬臂梁 4、多跨静定梁
五、讲课提纲 1、平面弯曲的概念 弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷或位于纵向平面内的力偶作用下，相邻两横截面 绕垂直于轴线的轴发生相对转动的变形。 梁：以弯曲为主要变形形式的构件。 平面弯曲：杆变形之后的轴线所在平面与外力所在平面重合或平行的弯曲变形。 2、梁的计算简图 2.1 几何结构的简化 以梁的轴线来代替梁，忽略构造上的枝节，如键槽、销孔、阶梯等。 2.2 载何的简化 载荷按作用方式可以简化成三类 1、集中力 2、分布载荷 按体积分布 按面积分布 按长度分布 3、集中力偶 2.3 约束的简化 三种基本形式 1、可动铰支座 2、固定铰支座 3、固定端 2.4 静定梁及其分类 1、简支梁 2、外伸梁 3、悬臂梁 4、多跨静定梁
3、的内力——剪力和言矩 3.1、弯曲内力 根据梁的平衡条件,可以求出静定梁在载荷作用下的支反力,再应用载面法,求得梁的 各个载面上的弯曲内力。 ∑Y=0,R4-P1-Q=0 Q=R-P ∑M。=0 R4x+P1(x-a)+M=0 M=RX-P(r-a 32Q、M正负号规定: 使梁段绕其内任意点有顺时针转动趋势的剪力规定为正,反之为负,如图所示: 使梁段的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正,反之为负,如图所示 梁段 o∥梁段 剪力为正值 剪力为负值 梁段 梁段 M为正值 M为负值 3.3用直接法计算梁内力的规律 3.31剪力 横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上所有外力在平 行于横截面方向投影的代数和。截面左侧向上外力,或右侧向下外力,产生 正的剪力;反之产生负的剪力。左上右下,g为正;左下右上,Q为负。 3.32弯矩 横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上所有外力对该 截面形心的力矩的代数和。向上的外力产生正的弯矩,向下的外力产生负的 弯矩。截面左侧顺时针转向外力偶,或右侧逆时针转向外力偶,产生正的弯
3、梁的内力——剪力和弯矩 3.1、弯曲内力 根据梁的平衡条件，可以求出静定梁在载荷作用下的支反力，再应用载面法，求得梁的 各个载面上的弯曲内力。 1 1 0, 0, Q R P Y R P Q A A = − = − − = ( ) ( ) 0 0, 1 1 M R x P x a R x P x a M M A A o = − − − + − + = = 3.2 Q、M 正负号规定： 使梁段绕其内任意点有顺时针转动趋势的剪力规定为正，反之为负，如图所示； 使梁段的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负，如图所示。 3.3 用直接法计算梁内力的规律 3.3.1 剪力 横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力在平 行于横截面方向投影的代数和。截面左侧向上外力，或右侧向下外力，产生 正的剪力；反之产生负的剪力。左上右下， Q 为正；左下右上， Q 为负。 3.3.2 弯矩 横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对该 截面形心的力矩的代数和。向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的 弯矩。截面左侧顺时针转向外力偶，或右侧逆时针转向外力偶，产生正的弯
矩;反之产生负的弯矩。上正下负:左顺右逆,M为正 4、.内力方程内力图 4.1内力方程 般情况下,截面上ρ、M是随截面位置变化的,若横截面的位置用x表 示,则Q、M可写成x的函数 O=O(x),M=M(x) 这种内力与x的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程,统称内力方程。 4.2内力图 为了形象地表明梁各横截面上的Q、M沿梁轴线的变化情况,在设计计算 中常把各横截面上的Q、M用图形来表示,分别称为剪力图和弯矩图。 画剪力图和弯矩图时,首先要建立O-x和M-x坐标。一般取梁的左端作为x坐 标的原点,Q坐标和M坐标向上为正。然后根据截荷情况分段列出Q(x)和M(x)方程 由截面法和平衡条件可知,在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处,剪力方程和弯矩方 程可能发生变化,所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面 求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值(包括正负号),并将这些数值标在O-x、M-x 坐标中相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明Q和 M的数值。 5、剪力、弯矩和载荷集度问的关糸 5.1剪力、弯矩和载荷集度间的关系推导 图表示一根普通的梁。以梁的左端为坐标原点,选取右手坐标系如图中所示。规定分布 载荷q(x)向上(与y轴方向一致)为正号 用坐标为x和x+dx的两相邻截面从梁 中截取出长为d的微段,并将其放大如图所 示。其中c为x+x的截面的形心。在坐标为(a x的截面上,剪力和弯矩分别为Q(x)和 Cxl+derx
矩；反之产生负的弯矩。上正下负；左顺右逆， M 为正。 4、内力方程 内力图 4.1 内力方程 一般情况下，截面上 Q 、M 是随截面位置变化的，若横截面的位置用 x 表 示，则 Q 、 M 可写成 x 的函数： Q = Q(x)，M = M (x) 这种内力与 x 的函数式分别称为剪力方程和弯矩方程，统称内力方程。 4.2 内力图 为了形象地表明梁各横截面上的 Q 、M 沿梁轴线的变化情况，在设计计算 中常把各横截面上的 Q 、 M 用图形来表示，分别称为剪力图和弯矩图。 画剪力图和弯矩图时，首先要建立 Q − x 和 M − x 坐标。一般取梁的左端作为 x 坐 标的原点， Q 坐标和 M 坐标向上为正。然后根据截荷情况分段列出 Q(x) 和 M (x) 方程。 由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方 程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。 求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数值标在 Q − x 、M − x 坐标中相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明 max Q 和 M max 的数值。 5、剪力、弯矩和载荷集度间的关系 5.1 剪力、弯矩和载荷集度间的关系推导 图表示一根普通的梁。以梁的左端为坐标原点，选取右手坐标系如图中所示。规定分布 载荷 q(x) 向上（与 y 轴方向一致）为正号。 用坐标为 x 和 x + dx 的两相邻截面从梁 中截取出长为 dx 的微段，并将其放大如图所 示。其中 c 为 x + dx 的截面的形心。在坐标为 x 的截面上，剪力和弯矩分别为 Q(x) 和
M(x):在坐标为x+ax的截面上,剪力和弯矩则分别为Q(x)+dQ(x),M(x)+dM(x) 图中所示微段的各截面上,剪力和弯矩均为正的,且设该微段内无集中力和集中力偶作用。 由于梁处于平衡状态,因此截出的dx微段亦 应处于平衡状态。因此,根据该微段的平衡方程有 >r=0, Q(x)-[O(x)+d@(x)+q(x)cx=0 >me=0, -M(x)+[M(x)+dM(x)]-q(x)dx-q(x)dx. =0 省略去上面第二式中的二阶微量qx,2,整理后可得 do(x) g(x) dM(x) d x=@(r) 上式中就是载荷集度q(x),和剪力Q(x)及弯矩M(x)间的微分关系 52几何意义 1.剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q。 2.弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力 3.弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度q 5.3应用 1·若某段梁上无分布载荷,即q(x)=0,则该段梁的剪力Q(x)为常量,剪力图 为平行于x轴的直线;而弯矩M(x)为x的一次函数,弯矩图为斜直线 2.若某段梁上的分布载荷q(x)=q(常量),则该段梁的剪力Q(x)为x的一次函 数,剪力图为斜直线:而M(x)为x的二次函数,弯矩图为抛物线。在本书规定的M-x 坐标中,当q>0(q向上)时,弯矩图为向下凸的曲线;当q09=常数<0 常数 次函数一次函数 Q图直线斜直线斜直线 Mlr 次函数二次函数二次函数 M图斜直线下凸抛物线上凸抛物线
M (x) ；在坐标为 x + dx 的截面上，剪力和弯矩则分别为 Q(x) + dQ(x) ，M (x) + dM (x) 。 图中所示微段的各截面上，剪力和弯矩均为正的，且设该微段内无集中力和集中力偶作用。 由于梁处于平衡状态，因此截出的 dx 微段亦 应处于平衡状态。因此，根据该微段的平衡方程有： Y = 0， Q(x) −Q(x) + dQ(x)+ q(x)dx = 0 me = 0， 0 2 − ( ) + ( ) + ( ) − ( ) − ( ) = dx M x M x dM x q x dx q x dx 省略去上面第二式中的二阶微量 2 ( ) dx q x dx ，整理后可得 ( ) ( ) q x dx dQ x = ( ) ( ) Q x dx dM x = 上式中就是载荷集度 q(x) ，和剪力 Q(x) 及弯矩 M (x) 间的微分关系。 5.2 几何意义 １．剪力图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度 q 。 ２．弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。 ３．弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度 q 。 5.3 应用 １．若某段梁上无分布载荷，即 q(x) = 0 ，则该段梁的剪力 Q(x) 为常量，剪力图 为平行于 x 轴的直线；而弯矩 M (x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。 ２．若某段梁上的分布载荷 q(x) = q （常量），则该段梁的剪力 Q(x) 为 x 的一次函 数，剪力图为斜直线；而 M (x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的 M − x 坐标中，当 q 0 （ q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 q 0 （ q 向下）时， 弯矩图为向上凸的曲线。 ３ ． 若 某 截 面 的 剪 力 Q(x) = 0 ，根据 0 ( ) = dx dM x ，该 截面的弯矩为极值
54步骤 利用以上各点,除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外,还可以利用微 分关系绘制剪力图和弯矩图,而不必再建立剪力方程和弯矩方程,其步骤如下: 1.求支座反力; 2.分段确定剪力图和弯矩图的形状 3.求控制截面内力,根据微分关系绘剪力图和弯矩图 4.确定Q和M 6、叠加法 6.1叠加原理 当荷载引起的效应为荷载的线性函数时,则多个荷载同时作用所引起的某一效应等 于每个荷载单独作用时所引起的该效应的代数和 62叠加技巧
5.4 步骤 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微 分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： 1．求支座反力； 2．分段确定剪力图和弯矩图的形状； 3．求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 4．确定 max Q 和 M max 。 6、叠加法 6.1 叠加原理： 当荷载引起的效应为荷载的线性函数时，则多个荷载同时作用所引起的某一效应等 于每个荷载单独作用时所引起的该效应的代数和。 6.2 叠加技巧
