重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第十章 强度理论

第十章强度理论 、教学目标和教学内容 1.教学目标 掌握强度理论的概念。 了解材料的两种破坏形式(按破坏现象区分)。 了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件 掌握常用的四个强度理论的相当应力 了解莫尔强度理论的基本观点。 会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算 2.教学内容 讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。 讲解常用的四个强度理论的基本观点,并推导其破坏条件从而建立强度计算 方法 介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。 简单介绍莫尔强度理论。 二、重点难点 重点:强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。 难点: 常用四个强度理论的理解。 危险点的确定及其强度计算。 、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题 四、建议学时 学时 五、讲课提纲 1、概述 1.1材料在单向应力状态或纯剪切应力状态时的强度条件 轴向拉(压)杆件的最大正应力发生在横截面上各点处;而横力弯曲梁的最 大正应力发生在最大弯矩横截面的上、下边缘处,如图10.1(a)、(b)所示, 其应力状态皆为单向应力状态,强度条件为: 拉压杆:σm=≤

第 十 章 强 度 理 论 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 掌握强度理论的概念。 了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。 了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。 掌握常用的四个强度理论的相当应力。 了解莫尔强度理论的基本观点。 会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。 2．教学内容 讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。 讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算 方法。 介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。 简单介绍莫尔强度理论。 二、重点难点 重点：强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。 难点： 常用四个强度理论的理解。 危险点的确定及其强度计算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 3 学时 五、讲课提纲 1、概述 1.1 材料在单向应力状态或纯剪切应力状态时的强度条件： 轴向拉（压）杆件的最大正应力发生在横截面上各点处；而横力弯曲梁的最 大正应力发生在最大弯矩横截面的上、下边缘处，如图 10.1（a）、（b）所示， 其应力状态皆为单向应力状态，强度条件为： 拉压杆：  =    A FN max

梁 式中回]}=on/n,an为材料破坏时的极限应力,n称为安全系数。对于塑性材料, σn=n,(屈服极限);对于脆性材料,σ=σ。(强度极限),皆可由试验确定。 纯扭转圆轴的最大切应力发生在横截面周边各点处;而梁的最大切应力发生 在最大剪力横截面的中性轴上,如图10.1(c)、(d)所示,为纯剪切应力状态, 强度条件为 扭转轴:r 梁 式中]=n/n,=r或由实验确定。 图10.1 1.2材料的破坏形式 以上列举的强度条件,用于简单应力状态,是直接根据试验结果建立的。然 而工程实际中许多构件的危险点都处于复杂应力状态,其破坏现象较复杂,但材 料的破坏形式可分为如下二类: 脆性断裂:材料失效时未发生明显的塑性变形而突然断裂。如:铸铁在单向 拉伸和纯剪切应力状态下的破坏 塑性屈服:材料失效时产生明显的塑性变形并伴有屈服现象。如低碳钢在单 向拉伸和纯剪切应力状态下的破坏 注意:材料的破坏形式并不是以材料为塑性材料或脆性材料为准来区分的。 如:大理石为脆性材料,在单向压缩时发生的破坏为脆性断裂,图10.2(a); 若表面受均匀经向压力,施加轴向力后出现明显的塑性变形,成为腰鼓形,显然 其破坏形式为塑性屈服,图10.2(b)

梁：  =    W M max 式中   u ns  = / ， u 为材料破坏时的极限应力， ns 称为安全系数。对于塑性材料，  u = ns （屈服极限）；对于脆性材料，  u = b （强度极限），皆可由试验确定。 纯扭转圆轴的最大切应力发生在横截面周边各点处；而梁的最大切应力发生 在最大剪力横截面的中性轴上，如图 10.1（c）、（d）所示，为纯剪切应力状态， 强度条件为： 扭转轴：  =    p x W M max 梁：  =    I b F S z Q z * max max 式中   u ns  = / ， u s  = 或 b  由实验确定。 图 10.1 1.2 材料的破坏形式 以上列举的强度条件，用于简单应力状态，是直接根据试验结果建立的。然 而工程实际中许多构件的危险点都处于复杂应力状态，其破坏现象较复杂，但材 料的破坏形式可分为如下二类： 脆性断裂：材料失效时未发生明显的塑性变形而突然断裂。如：铸铁在单向 拉伸和纯剪切应力状态下的破坏。 塑性屈服：材料失效时产生明显的塑性变形并伴有屈服现象。如低碳钢在单 向拉伸和纯剪切应力状态下的破坏。 注意：材料的破坏形式并不是以材料为塑性材料或脆性材料为准来区分的。 如：大理石为脆性材料，在单向压缩时发生的破坏为脆性断裂，图 10.2（a）； 若表面受均匀经向压力，施加轴向力后出现明显的塑性变形，成为腰鼓形，显然 其破坏形式为塑性屈服，图 10.2(b)

F Fp 大理石 Fp Fp 图10.2 1.3强度理论的概念 在复杂应力状态下,一点的3个主应力a1、a2、o3可能都不为零,而且会 出现不同的主应力组合。此时如果采用直接试验的方法来建立强度条件,是非常 困难的,原因在于:进行复杂应力状态试验的设备和加工比较复杂;不同的应力 组合需要重新做试验;不同的材料需重新试验。 人们经过长期的生产实践和科学研究,总结材料破坏的规律,提出了各种不 同的假说:认为材料之所以按某种形式破坏,是由于某一特定因素(应力、应变、 形状改变比能)引起的;对于同一种材料,无论处于何种应力状态,当导致它们 破坏的这一共同因素达到某一极限时,材料就会发生破坏。这样的一些假说称为 强度理讠 2、常用的强度理论 由于材料存在着脆性断裂和塑性屈服两种破坏形式,因而,强度理论也分为 两类:一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论,其中有最大拉应力理论和最大 伸长线应变理论;另一类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论,其中有最大切应 力理论和形状改变比能理论 2.1第一强度理论一一最大拉应力理论 该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大主拉应力。即在复杂应力状态 下,只要材料内一点的最大主拉应力a1(G1>0)达到单向拉伸断裂时横截面上的极 限应力σn,材料发生断裂破坏。破坏条件为 >0) 强度条件为 1≤[G (10-1) 式中}一单向拉伸时材料的许用应力:[ 试验表明,该理论主要适用于脆性材料在二向或三向受拉(例如铸铁、玻璃、 石膏等)。对于存在有压应力的脆性材料,只要最大压应力值不超过最大拉应力 值,也是正确的

图 10.2 1.3 强度理论的概念 在复杂应力状态下，一点的 3 个主应力  1、 2 、 3 可能都不为零，而且会 出现不同的主应力组合。此时如果采用直接试验的方法来建立强度条件，是非常 困难的，原因在于：进行复杂应力状态试验的设备和加工比较复杂；不同的应力 组合需要重新做试验；不同的材料需重新试验。 人们经过长期的生产实践和科学研究，总结材料破坏的规律，提出了各种不 同的假说：认为材料之所以按某种形式破坏，是由于某一特定因素（应力、应变、 形状改变比能）引起的；对于同一种材料，无论处于何种应力状态，当导致它们 破坏的这一共同因素达到某一极限时，材料就会发生破坏。这样的一些假说称为 强度理论。 2、常用的强度理论 由于材料存在着脆性断裂和塑性屈服两种破坏形式，因而，强度理论也分为 两类：一类是解释材料脆性断裂破坏的强度理论，其中有最大拉应力理论和最大 伸长线应变理论；另一类是解释材料塑性屈服破坏的强度理论，其中有最大切应 力理论和形状改变比能理论。 2.1 第一强度理论——最大拉应力理论 该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大主拉应力。即在复杂应力状态 下，只要材料内一点的最大主拉应力 ( 0)  1  1  达到单向拉伸断裂时横截面上的极 限应力  u ，材料发生断裂破坏。破坏条件为：  1   u ( 0)  1  强度条件为： [ ]  1   ( 0)  1  （10-1） 式中 ——单向拉伸时材料的许用应力：   b ns  = / 。 试验表明，该理论主要适用于脆性材料在二向或三向受拉（例如铸铁、玻璃、 石膏等）。对于存在有压应力的脆性材料，只要最大压应力值不超过最大拉应力 值，也是正确的

2.2第二强度理论一最大伸长线应变理论 该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大伸长线应变。即在复杂应力状 态下,只要材料内一点的最大拉应变61达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极 限值ε,时,材料就发生断裂破坏。由广义胡克定律可知 单向拉伸断裂时 E 于是破坏条件为 o1-u(a2+3川 E 即 U(2+a3)≥ 所以,强度条件为 3)≤{] (10.2) 此理论考虑了三个主应力的影响,形式上比第一强度理论完善,但用于工程 上其可靠性很差,现在很少采用 2.3第三强度理论一最大切应力理论 该理论认为材料屈服的主要因素是最大切应力。在复杂应力状态下,只要材 料内一点处的最大切应力cm达到单向拉伸屈服时切应力的屈服极限r,材料就 在该处发生塑性屈服。由11章可知:复杂应力状态下最大切应力为 单向拉伸时 破坏条件为 G1-a3≥ 于是强度条件为 1-o3≤[ (10.3) 该理论对于单向拉伸和单向压缩的抗力大体相当的材料(如低碳钢)是适合 的 2.4第四强度理论一最大形状改变比能理论 该理论认为材料屈服的主要因素是该点的形状改变比能。在复杂应力状态 下,材料内一点的形状改变比能υ达到材料单向拉伸屈服时形状改变比能的极

2.2 第二强度理论—最大伸长线应变理论 该理论认为材料断裂的主要因素是该点的最大伸长线应变。即在复杂应力状 态下，只要材料内一点的最大拉应变 1  达到了单向拉伸断裂时最大伸长应变的极 限值 u  时，材料就发生断裂破坏。由广义胡克定律可知  ( ) 1 1  1   2  3  = − + E 单向拉伸断裂时 E b u   = 于是破坏条件为 ( ) E E  b [ −  + ]  1 1 2 3 即： ( )  1 −  2 + 3   b 所以，强度条件为  −( + )   1 2 3 （10.2） 此理论考虑了三个主应力的影响，形式上比第一强度理论完善，但用于工程 上其可靠性很差，现在很少采用。 2.3 第三强度理论—最大切应力理论 该理论认为材料屈服的主要因素是最大切应力。在复杂应力状态下，只要材 料内一点处的最大切应力 max  达到单向拉伸屈服时切应力的屈服极限 s  ，材料就 在该处发生塑性屈服。由 11 章可知：复杂应力状态下最大切应力为 2 1 3 max    − = 单向拉伸时 2 s s   = 破坏条件为  1 − 3   s 于是强度条件为 [ ]  1 − 3   （10.3） 该理论对于单向拉伸和单向压缩的抗力大体相当的材料（如低碳钢）是适合 的。 2.4 第四强度理论—最大形状改变比能理论 该理论认为材料屈服的主要因素是该点的形状改变比能。在复杂应力状态 下，材料内一点的形状改变比能  d 达到材料单向拉伸屈服时形状改变比能的极

限值v,材料就会发生塑性屈服。由11章可知 G1-a2)2+(02-a3)2+(o3-a1)2] 单向拉伸时:σ1=σ,a2=03=0可得 1+ 破坏条件为 G1-a2)2+(a2-a3)2+(a3-a1)2]≥ a2)2+(o2-a3)2+(a3-a1)2]≥σ 于是强度条件为 G1-a2)2+(a2-o3)2+(a3-a1)2]≤[] (10.4) 试验表明,对于塑性材料,此理论比第三强度理论更符合试验结果。 综合以上四个强度理论的强度条件,可以把它们写成如下的统一形式: ] 其中σ称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为 )2+(a3-a1 对于梁来讲, 注意 1、对以上四个强度理论的应用,一般说脆性材料如铸铁、混凝土等用第一 和第二强度理论;对塑性材料如低碳钢用第三和第四强度理论 2、脆性材料或塑性材料,在三向拉应力状态下,应该用第一强度理论:在 三向压应力状态下,应该用第三强度理论或第四强度理论。 3、第三强度理论概念直观,计算简捷,计算结果偏于保守;第四强度理论 着眼于形状改变比能,但其本质仍然是一种切应力理论 4、在不同情况下,如何选用强度理论,不单纯是个力学问题,而与有关工 程技术部门长期积累的经验及根据这些经验制订的一整套计算方法和许用应力 值{]有关

限值 u ，材料就会发生塑性屈服。由 11 章可知 [( ) ( ) ( ) ] 6 1 2 3 1 2 2 3 2  1  2       − + − + − + = E d 单向拉伸时：  1 =  s， 2 = 3 = 0 可得 2 3 1 u s E    + = 破坏条件为 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 1 [( ) ( ) ( ) ] 6 1 s E E          + − + − + −  + 即  − +  − +  −   s [( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 于是强度条件为 [( − ) + ( − ) + ( − ) ]    2 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 （10.4） 试验表明，对于塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果。 综合以上四个强度理论的强度条件，可以把它们写成如下的统一形式：    r 其中  r 称为相当应力。四个强度理论的相当应力分别为  r1 =  1 ( )  r2 = 1 −  2 + 3  r3 = 1 − 3 [( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 3 1 2 2 3 2  r4 =  1 − 2 +  − +  − 对于梁来讲， 2 2  3 =  + 4 r 2 2  4 =  +3 r 注意： 1、对以上四个强度理论的应用，一般说脆性材料如铸铁、混凝土等用第一 和第二强度理论；对塑性材料如低碳钢用第三和第四强度理论。 2、脆性材料或塑性材料，在三向拉应力状态下，应该用第一强度理论；在 三向压应力状态下，应该用第三强度理论或第四强度理论。 3、第三强度理论概念直观，计算简捷，计算结果偏于保守；第四强度理论 着眼于形状改变比能，但其本质仍然是一种切应力理论。 4、在不同情况下，如何选用强度理论，不单纯是个力学问题，而与有关工 程技术部门长期积累的经验及根据这些经验制订的一整套计算方法和许用应力 值  有关

2.5莫尔强度理论 该理论认为,材料发生屈服或剪切破坏,不仅与该截面上的切应力有关,而 且还与该截面上的正应力有关,只有当材料的某一截面上的切应力与正应力达到 最不利组合时,才会发生屈服或剪断 莫尔理论认为材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆 B 图10.3 在工程应用中,分别作拉伸和压缩极限状态的应力圆,这两个应力圆的直径 分别等于脆性材料在拉伸和压缩时的强度极限σ和σ。这两个圆的公切线MN 即是该材料的包络线,如图10.3。若一点的3个主应力a1、a2、o3已知,以和 σ3作出的应力圆与包络线相切,则此点就会发生破坏。由此可导出莫尔强度理 论的强度条件为 σ3≤ (10.5) 式中,[G和是脆性材料的许用拉应力和许用压应力 对{=G的材料,莫尔强度条件化为 a1-a3≤] 此即为最大切应力理论的强度条件。可见莫尔强度理论是最大切应力理论的发 展,它把材料在单向拉伸和单向压缩时强度不等的因素也考虑进去了

＊2.5 莫尔强度理论 该理论认为，材料发生屈服或剪切破坏，不仅与该截面上的切应力有关，而 且还与该截面上的正应力有关，只有当材料的某一截面上的切应力与正应力达到 最不利组合时，才会发生屈服或剪断。 莫尔理论认为材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆。 图 10.3 在工程应用中，分别作拉伸和压缩极限状态的应力圆，这两个应力圆的直径 分别等于脆性材料在拉伸和压缩时的强度极限 +  b 和 −  b 。这两个圆的公切线 MN 即是该材料的包络线,如图 10.3。若一点的 3 个主应力  1、 2 、 3 已知，以  1 和  3 作出的应力圆与包络线相切，则此点就会发生破坏。由此可导出莫尔强度理 论的强度条件为：       + − + −       1 3 （10.5） 式中，   +  和   −  是脆性材料的许用拉应力和许用压应力。 对     + −  =  的材料，莫尔强度条件化为：  −   1 3 此即为最大切应力理论的强度条件。可见莫尔强度理论是最大切应力理论的发 展，它把材料在单向拉伸和单向压缩时强度不等的因素也考虑进去了