重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第六章 弯曲应力

第六章弯曲应力 、教学目标和教学内容 1.教学目标 掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程,理解推导中所作 的基本假设。 理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义 掌握各种形状截面梁(矩形、圆形、圆环形、工字形)横截面上切应力 的分布和计算。 熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 从弯曲强度条件出发,掌握提高弯曲强度的若干措施。 理解等强度梁的概念。 确定薄壁杄件切应力流的方向。 理解弯曲中心对开口薄壁杄件的重要性,掌握确定弯曲中心的方法。 教学内容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的切应力 提高弯曲强度的若干措施、薄壁杄件的切应力流和弯曲中心。 二、重点难点 重点:纯弯曲梁橫截面上正应力公式的分析推导 横力弯曲橫截面上正应力的计算,最大拉应力和最大压应力的计算。 弯曲的强度计算 弯曲横截面上的剪应力

第 六章 弯曲应力 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作 的基本假设。 理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。 掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。 掌握各种形状截面梁（矩形、圆形、圆环形、工字形）横截面上切应力 的分布和计算。 熟练弯曲正应力和剪应力强度条件的建立和相应的计算。 了解什么情况下需要对梁的弯曲切应力进行强度校核。 从弯曲强度条件出发，掌握提高弯曲强度的若干措施。 理解等强度梁的概念。 确定薄壁杆件切应力流的方向。 理解弯曲中心对开口薄壁杆件的重要性，掌握确定弯曲中心的方法。 2．教学内容 梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的切应力 提高弯曲强度的若干措施、薄壁杆件的切应力流和弯曲中心。 二、重点难点 重点：纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导。 横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算。 弯曲的强度计算。 弯曲横截面上的剪应力

难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念 重点处理:从弯曲变形的特点出发,让学生了解两个应力的分布规律,并对两个应力的 分布进行对比,加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方 法,结合T型截面梁铸铁梁这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练。 难点处理:结合梁弯曲变形的特点,推导两个应力公式,在推导中,充分利用前面的 知识,发挥学生的主动性,让学生自己选择解决方法,加强学生对内容的掌握。对照 M τ=-′的推导消化难点,以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方 向平面弯曲理解弯曲中心 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 8学时 五、讲课提纲 1、弯曲正应力 11纯弯曲时的正应力 图所示简支梁CD,载荷P作用在梁的纵向对称面内,梁的弯曲为平面弯曲,其计算简 图如图所示。从CD梁的剪力图和弯矩图可以看到,AC和DB梁段的各横截面上,剪力和 弯矩同时存在,这种弯曲称为横力弯曲:而在AB梁段内,横截面上则只有弯矩而没有剪力, 这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时,d=Q≠0

难点：弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念。 重点处理：从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的 分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义，计算方 法，结合 T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析，并在作业中进一步强化训练。 难点处理： 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的 知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照 A N  = , p t I M  = 的推导消化难点，以学生理解这一推导思路。结合纯弯曲的条件和两个方 向平面弯曲理解弯曲中心。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 8 学时 五、讲课提纲 1、弯曲正应力 1.1 纯弯曲时的正应力 图所示简支梁 CD，载荷 P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为平面弯曲，其计算简 图如图所示。从 CD 梁的剪力图和弯矩图可以看到， AC 和 DB 梁段的各横截面上，剪力和 弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在 AB 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力， 这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时， = Q  0 dx dM 。 Q M x x a a A B C D P P

可以知道,粱的各截面上弯矩是不同的:纯弯曲时,由于aM=Q=0,可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值,即M=常量。 下面,首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力 纯弯曲时,根据梁的静力关系知道,横截面上的正应力组成的内力系的合力矩即为 弯矩M。但是,只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的,因此,所研究的问题是超 静定的。和拉(压)杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样,必须综合考虑梁的变形关 系、物理关系和静力关系进行分析。 1.1.1变形几何关系 1、实验观察 为了分析梁的关系,变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横 线,分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面。在材料试验机上作纯弯曲实验,可以观察 以下现象: (1)梁上的纵线(包括轴线)都弯曲成圆弧曲线,靠近梁凹侧一边的纵线缩短,而靠 近凸侧一边的纵线伸长。 (2)梁上的横线仍为直线,各横线间发生相对转动,不再相互平行,但仍与梁弯曲后 的轴线垂直 (3)在梁的纵线伸长区,梁的宽度减小:;而在梁的纵线缩短区,梁的宽度增大 中性层:梁内某一层纤维既不伸长也不缩短,因而这层纤维既不受拉应力,也 不受压应力,这层纤维称为中性层。 中性轴:中性层与梁横截面的交线。如图 中性轴 中性面

可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于 = Q = 0 dx dM ，可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值，即 M =常量。 下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。 纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力  组成的内力系的合力矩即为 弯矩 M 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超 静定的。和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关 系、物理关系和静力关系进行分析。 1.1.1 变形几何关系 1、实验观察 为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横 线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面。在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察 以下现象： （1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠 近凸侧一边的纵线伸长。 （2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后 的轴线垂直。 （3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大。 中性层 ：梁内某一层纤维既不伸长也不缩短，因而这层纤维既不受拉应力，也 不受压应力，这层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。如图 a a b b m m n n 中性轴

2、假设 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象,经过判断、综合和推理,可作出如下假设 (1)梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面,并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只 是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 (2)梁的纵向纤维间无挤压,只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 3、几何关系 为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律,如图所示,用横截面m-m和 n-n从梁中截取出长为dx的一个微段。从图中可以看到,横截面m-m和nn间相对转过的 角度为dO,中性层OO,曲率半径为ρ,距中性层为y处的任一纵线(纵向纤维)ab为 圆弧曲线。因此,纵线ab的伸长为 A/=(p+y)dB-dx=(p+y)d8-Ado=yde 而其线应变为 d 由于中性层等远的各纵向纤维变形相同,所以,公式线应变E即为横截面上坐标为y的所有 各点处的纵向纤维的线应变

2、假设 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只 是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 （2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 3、几何关系 为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面 m-m 和 n-n 从梁中截取出长为 dx 的一个微段。从图中可以看到，横截面 m-m 和 n-n 间相对转过的 角度为 d ，中性层  O1O2 曲率半径为  ，距中性层为 y 处的任一纵线（纵向纤维） ab 为 圆弧曲线。因此，纵线 ab 的伸长为 l = ( + y)d − dx = ( + y)d − d = yd 而其线应变为      y d yd e l = =  = 由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变  即为横截面上坐标为 y 的所有 各点处的纵向纤维的线应变

1.1.2物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压,而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限σ。时,可由胡克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为 g= Es 该式表明,横截面上各点的正应力a与点的坐标y成正比,由于截面上一为常数,说 明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布,如图所示。中性轴上各点的正应力均为零,中 性轴上部横截面的各点均为压应力,而下部各点则均为拉应力 1.1.3静力关系 odd 图所示梁的横截面的形心直角坐标系O-xyz中,Z轴为截面的中性轴。横截面上坐标 为(y,)的点的正应力为a,截面上各点的微内力a·dA组成与横截面垂直的空间平行力 系(图中只画出了该平行力系中的一个微内力,O为横截面的形心)。这个内力系只可能简 化为三个内力分量,即平行于x轴的轴力N,对z轴的力矩M2和对y轴的力偶矩My,分 别为 N yodA 在纯弯情况下,梁横截面上只有弯矩M2=M,而轴力N和M,皆为零 由N=0,有

1.1.2 物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限  p 时，可由胡克定律得到横截面上坐标为 y 处各点的正应力为 y E E   =  = 该式表明，横截面上各点的正应力  与点的坐标 y 成正比，由于截面上  E 为常数，说 明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 1.1.3 静力关系 图所示梁的横截面的形心直角坐标系 O − xyz 中，Z 轴为截面的中性轴。横截面上坐标 为 ( y,z) 的点的正应力为  ，截面上各点的微内力   dA 组成与横截面垂直的空间平行力 系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，O 为横截面的形心）。这个内力系只可能简 化为三个内力分量，即平行于 x 轴的轴力 N ，对 z 轴的力矩 Mz 和对 y 轴的力偶矩 M y ，分 别为  = A N  dA  = A M y z dA  = A M z y dA 在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩 Mz = M ，而轴力 N 和 M y 皆为零。 由 N = 0 ，有

N=lodA=0 将物理关系代入上式可得:fE ydA=0 由于弯曲时二≠0,必然有 此式表明,中性轴z通过截面形心。 同时,由M,=0,可得 E M=zoda=-yed ∫yzd=l==0 其中 .= ydA 称为截面对y、z轴的惯性积。使l=0的一对互相垂直的轴称为主轴。而z轴又通过 橫截面形心,所以z轴为形心主轴 最后,根据M=M,将物理关系代入下式 M:=Yoda=LydA=M 其中 El 是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率 =y2称为截面对z轴的惯性矩:E称为截面的抗弯刚度,梁弯曲的曲 率与弯矩成正比,而与抗弯刚度成反比 将该式代入式物理关系,即可得到纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式

= = 0 A N dA 将物理关系代入上式可得： = = 0 A A ydA E ydA E   由于弯曲时  0  E ，必然有 = = 0  z A ydA S 此式表明，中性轴 z 通过截面形心。 同时，由 M y = 0 ，可得 = = = = = 0    yz A A A y I E yzdA E yzdA E M z dA     其中  = A yz I yzdA 称为截面对 y、z 轴的惯性积。使 I yz = 0 的一对互相垂直的轴称为主轴。而 z 轴又通过 横截面形心，所以 z 轴为形心主轴。 最后，根据 M = Mz ，将物理关系代入下式 y dA M E M y dA A A z = = =   2   EI z M =  1 其中 EI z M =  1 是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率；  = A Iz y dA 2 称为截面对 z 轴的惯性矩； EI z 称为截面的抗弯刚度。，梁弯曲的曲 率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。 将该式代入式物理关系，即可得到纯弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式

M 上式中正应力a的正负号与弯矩M及点的坐标y的正负号有关。实际计算中,可 根据截面上弯矩M的方向,直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力,哪一侧产生压应力, 而不必计及M和y的正负。 公式的适用范围 1、平面弯曲2、材料在线弹性范围内的梁3、单向应力 1.1.4最大应力的计算 设y为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离,则截面上的最大正应力为 如令 则截面上最大弯曲正应力可以表达为 M 式中,W称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关,其量纲为长度 矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为 高为h,宽为b的矩形截面: bh :_12bh h 直径为d的圆截面:

z y I M  = 上式中正应力  的正负号与弯矩 M 及点的坐标 y 的正负号有关。实际计算中，可 根据截面上弯矩 M 的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力， 而不必计及 M 和 y 的正负。 公式的适用范围： 1、平面弯曲 2、 材料在线弹性范围内的梁 3、单向应力 1.1.4 最大应力的计算 设 max y 为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，则截面上的最大正应力为 z I Mymax  max = 如令 max y I W z z = 则截面上最大弯曲正应力可以表达为 Wz M  max = 式中， Wz 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为   3 长度 。 矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为 h ，宽为 b 的矩形截面： 6 2 12 2 3 max bh h bh y I W z z = = = 直径为 d 的圆截面：

∏d3 丌1:-64∏d3 至于各种型钢的抗弯截面模量,可从附录Ⅱ的型钢表中查找 若梁的横截面对中性轴不对称,则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等,例如 T形截面。这时,应把y和y2分别代入正应力公式,计算截面上的最大正应力。 最大拉应力为: (a) 最大压应力为: 12、横力弯曲时的正应力 梁在横弯曲作用下,其横截面上不仅有正应力,还有剪应力。由于存在剪应力,横截面不再 保持平面,而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明,对于细长梁(例如矩形截面梁,l/h≥5 l为梁长,h为截面高度),剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小,可以忽略不计。而且, 用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式,即 My 来计算细长梁横力弯曲时的正应力,和梁内的真实应力相比,并不会引起很大的误差,能够 满足工程问题所要求的精度。所以,对横力弯曲时的细长梁,可以用纯弯曲时梁横截面上的 正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。 上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁,以及曲率很小的曲梁 (h/p≤0.2,p为曲梁轴线的曲率半径)也可近似适用 2、弯曲剪应力 橫力弯曲时,梁内不仅有弯矩还有剪力,因而横截面上既有弯曲正应力,又有弯曲剪 应力。同时,由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面,弯曲剪应力不能采用综合变形条 件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手,研究梁的弯曲剪应 力

32 2 64 3 3 max d d d y I W z z  =  = = 至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。 若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如 T 形截面。这时，应把 1 y 和 2 y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。 最大拉应力为： z t I My1 () = 最大压应力为： z e I My2 ( ) = 1.2、横力弯曲时的正应力 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再 保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁， l / h  5， l 为梁长， h 为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计。而且， 用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，即 z I My  = 来计算细长梁横力弯曲时的正应力，和梁内的真实应力相比，并不会引起很大的误差，能够 满足工程问题所要求的精度。所以，对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的 正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。 上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁 （ h /  0  0.2 ，  0 为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。 2、弯曲剪应力 横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪 应力。同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条 件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应 力

21.矩形截面梁的弯曲剪应力 分析图所示横力弯曲的矩形截面梁截面上某 点处的剪应力时,需要先分析截面上剪应力的分布规律。矩形截面上,剪力Q截面的纵向对 称轴y轴重合。在截面两侧边界处取一单元体(尺寸分别为dx,dy,c=)的微小六面体, 在横截面上剪应力τ的方向与边界成一角度,则可把该剪应力分解为平行于边界的分量τ,和 垂直于边界的分量2。根据剪应力互等定理,可知在此单元体的侧面必有一剪应力和z2大 小相等。但是,此面为梁的侧表面,是自由表面,不可能有剪应力,即rx=2=0。说明矩 形截面周边处剪应力的方向必然与周边相切。因对称关系,可以推知左、右边界y轴上各点 的剪应力都平行于剪力Q。所以,当截面高度h大于宽度b时,关于矩形截面上的剪应力分 布规律,可作如下假设: (1)截面上任意一点的剪应力都平行于剪力O的方向。 (2)剪应力沿截面宽度均匀分布,即剪应力的大小只与y坐标有关。 M+uM (y) N N2

2.1．矩形截面梁的弯曲剪应力 分析图所示横力弯曲的矩形截面梁截面上某 点处的剪应力时，需要先分析截面上剪应力的分布规律。矩形截面上，剪力 Q 截面的纵向对 称轴 y 轴重合。在截面两侧边界处取一单元体（尺寸分别为 dx, dy, dz ）的微小六面体，设 在横截面上剪应力  的方向与边界成一角度，则可把该剪应力分解为平行于边界的分量 y  和 垂直于边界的分量 z  。根据剪应力互等定理，可知在此单元体的侧面必有一剪应力 x  和 z  大 小相等。但是，此面为梁的侧表面，是自由表面，不可能有剪应力，即  x =  z = 0 。说明矩 形截面周边处剪应力的方向必然与周边相切。因对称关系，可以推知左、右边界 y 轴上各点 的剪应力都平行于剪力 Q 。所以，当截面高度 h 大于宽度 b 时，关于矩形截面上的剪应力分 布规律，可作如下假设： （1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力 Q 的方向。 （2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与 y 坐标有关。 x dx

从图所示横力弯曲的梁上截取长为d的微段梁,设该微段左、右截面上的弯矩分别为M 及M+dM;剪力均为Q。再在m-n和m-n1两截面间距中性层为y处用一水平截面将 该微截开,取截面以下部分进行研究。在六面体Pnn上,左、右竖直侧面上有正应力a1 a2和剪应力r;顶面上有与互等的剪应力r’。在左、右侧面上的正应力a1和a2分别构 成了与正应力方向相同的两个合力N1和N2,它们为 odaM y 式中,A为横截面上距中性轴为y的横线以外的面积,如图所示。式中积分 S:=Ly 是A`的截面积对矩形截面中性轴〓的静矩。因此,上式简化为 M N 同理, M+dM 因微段的左、右两侧面上的弯矩不同,故N2和N1的大小也不相同。N,N2只有和水平剪应 力r’的合力一起,才能维持六面体在x方向的平衡,即

从图所示横力弯曲的梁上截取长为 dx 的微段梁，设该微段左、右截面上的弯矩分别为 M 及 M + dM ；剪力均为 Q 。再在 m− n 和 m1 − n1 两截面间距中性层为 y 处用一水平截面将 该微截开，取截面以下部分进行研究。在六面体 pp1n1n 上，左、右竖直侧面上有正应力  1、  2 和剪应力  ；顶面上有与  互等的剪应力  。在左、右侧面上的正应力  1 和  2 分别构 成了与正应力方向相同的两个合力 N1 和 N2 ，它们为 y dA I M N dA A z A    1 =  1 = 1 式中，  A 为横截面上距中性轴为 y 的横线以外的面积，如图所示。式中积分 S y dA A  =  2 1 是  A 的截面积对矩形截面中性轴 z 的静矩。因此，上式简化为  = z z S I M N1 同理， +  = z z S I M dM N2 因微段的左、右两侧面上的弯矩不同，故 N2 和 N1 的大小也不相同。 N1, N2 只有和水平剪应 力  的合力一起，才能维持六面体在 x 方向的平衡，即