重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第十五章 动荷载

第十五章动荷载 、教学目标和教学内容 1.教学目标 通过本章学习,唤起学生对动荷载问题的注意。 让学生知道动荷载问题的两个方面,目前应当掌握在较简单的工程问题中, 动荷载引起杆件的应力、应变和位移的计算。对于材料在动荷载下的力学行为, 以后根据工作的需要再进一步补充学习。 让学生掌握动荷载问题的基本知识,如杆件作等加速运动时的应力计算,作 等速旋转圆盘的应力分析,简单的自由落体冲击和水平冲击,以及循环应力问题 的有关概念。 能够深刻认识动荷系数概念,并能够熟练地进行杆件作等加速运动时的应力 计算,作等速旋转圆盘的应力分析,完成简单的自由落体冲击和水平冲击的计算。 2.教学内容 介绍杆件作等加速运动拉伸、压缩及弯曲时的应力计算。 介绍等角速度旋转的动荷应力计算 讲解简单冲击时,能量守恒的基本方程,分别导出自由落体冲击和水平冲击 时的动荷系数公式,及杆件经受冲击时的应力计算公式 二、重点难点 重点:建立三类动荷载概念。 掌握杆件作等加速运动时的应力计算。 作等速旋转圆盘的应力分析。 简单的自由落体冲击和水平冲击问题的计算 难点:对动静法和动荷系数的理解。 对于动荷载问题与静荷载问题的联系与区别。 在简单冲击问题中,被冲击杆件冲击点的相应静荷位移的理解和计 算,特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题。 四、建议学时 学时 五、讲课提纲 1、概述 前面研究了静荷载作用下的强度、刚度和稳定性问题。所谓静荷载(Stat Load)是指构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值,然后不再随时间而 改变。这时,构件在变形过程中各质点的加速度很小,加速度对变形和应力的影 响可以忽略不计。当荷载引起构件质点的加速度较大,不能忽略它对变形和应力 的影响时,这种荷载就称为动荷载( Dynamic Load) 构件在动荷载作用下产生的应力和变形分别称为动应力( Dynamic Stress) 和动变形( Dynamic Deformation)。实验表明,在静荷载下服从胡克定律的材料

第十五章 动荷载 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 通过本章学习，唤起学生对动荷载问题的注意。 让学生知道动荷载问题的两个方面，目前应当掌握在较简单的工程问题中， 动荷载引起杆件的应力、应变和位移的计算。对于材料在动荷载下的力学行为， 以后根据工作的需要再进一步补充学习。 让学生掌握动荷载问题的基本知识，如杆件作等加速运动时的应力计算，作 等速旋转圆盘的应力分析，简单的自由落体冲击和水平冲击，以及循环应力问题 的有关概念。 能够深刻认识动荷系数概念，并能够熟练地进行杆件作等加速运动时的应力 计算，作等速旋转圆盘的应力分析，完成简单的自由落体冲击和水平冲击的计算。 2．教学内容 介绍杆件作等加速运动拉伸、压缩及弯曲时的应力计算。 介绍等角速度旋转的动荷应力计算。 讲解简单冲击时，能量守恒的基本方程，分别导出自由落体冲击和水平冲击 时的动荷系数公式，及杆件经受冲击时的应力计算公式。 二、重点难点 重点：建立三类动荷载概念。 掌握杆件作等加速运动时的应力计算。 作等速旋转圆盘的应力分析。 简单的自由落体冲击和水平冲击问题的计算 难点：对动静法和动荷系数的理解。 对于动荷载问题与静荷载问题的联系与区别。 在简单冲击问题中，被冲击杆件冲击点的相应静荷位移的理解和计 算，特别是水平冲击时的静荷位移的理解和计算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 3 学时 五、讲课提纲 1、 概述 前面研究了静荷载作用下的强度、刚度和稳定性问题。所谓静荷载（Static Load）是指构件所承受的荷载从零开始缓慢地增加到最终值，然后不再随时间而 改变。这时，构件在变形过程中各质点的加速度很小，加速度对变形和应力的影 响可以忽略不计。当荷载引起构件质点的加速度较大，不能忽略它对变形和应力 的影响时，这种荷载就称为动荷载（Dynamic Load）。 构件在动荷载作用下产生的应力和变形分别称为动应力（Dynamic Stress） 和动变形（Dynamic Deformation）。实验表明，在静荷载下服从胡克定律的材料

只要动应力不超过比例极限,在动荷载下胡克定律仍然有效,并且弹性模量也与 静荷载时相同。 根据加载速度和应力随时间变化情况的不同,工程中常遇到下列三类动荷 1)作等加速运动或等速转动时构件的惯性力。例如起吊重物,旋转飞轮等 对于这类构件,主要考虑运动加速度对构件应力的影响,材料的机械性质可认为 与静荷载时相同。 2)冲击荷载( Impact Load),它的特点是加载时间短,荷载的大小在极短 时间内有较大的变化,因此加速度及其变化都很剧烈,不易直接测定。冲击波或 爆炸是冲击荷载的典型来源。工程中的冲击实例很多,例如汽锤锻造、落锤打桩 传动轴突然刹车等。这类构件的应力及材料机械性质都与静荷载时不同。 3)周期性荷载,它的特点是在多次循环中,荷载相继呈现相同的时间历程 如旋转机械装置因质量不平衡引起的离心力。对于承受这类动荷载的构件,荷载 产生的瞬时应力可以近似地按静荷载公式计算,但其材料的机械性质与静荷载时 有很大区别。 动荷载问题的研究分为两个方面。一方面是由动荷载引起的应力、应变和位 移的计算:另一方面是动荷载下的材料行为。本章属基本知识介绍,只讨论前两 种情况下简单问题的应力和位移的计算,对于第三种情况,则只介绍有关的基本 概念。以唤起读者对动荷载问题的注意。在解决实际问题时,需遵照有关规范要 求进行分析计算。 2、杆件作等加速直线运动时的应力计算 构件承受静荷载时,根据静力平衡方程确定支反力及内力。当杆件作加速运 动时,考虑加速度的影响,由牛顿第二定律可知 ∑F=ng (15.1) 式中,∑F为杆杆所受外力的合力,p为材料密度,g为重力加速度,a为杆件 的加速度。在静荷载时,a=0(此时,式(15.1)即为静力平衡方程。若令 F F称为惯性力,则式(15.1)可写成 ∑F+F=0 (15.2) 这样,就可将对运动构件的分析式(15.1)。看成添加惯性力后的平衡问题式 (15.2)来处理。这种将运动问题转化成平衡问题来分析的方法,称为达朗伯原 理(D’ Alembert’ s principle),又称为动静法。下面介绍它的应用。 2.1动荷拉伸压缩时杆的应力 现用起重机以匀加速加吊构件为例,来说明构件作等加速直线运动时动荷应 力的计算方法。 图15.la所示为一被起吊时的杆件,其横截面面积为A,长为l,材料密度 为p,吊索的起吊力为F,起吊时的加速度为a,方向向上。要求杆中任意横截 面I.I的正应力

只要动应力不超过比例极限，在动荷载下胡克定律仍然有效，并且弹性模量也与 静荷载时相同。 根据加载速度和应力随时间变化情况的不同，工程中常遇到下列三类动荷 载： 1）作等加速运动或等速转动时构件的惯性力。例如起吊重物，旋转飞轮等。 对于这类构件，主要考虑运动加速度对构件应力的影响，材料的机械性质可认为 与静荷载时相同。 2）冲击荷载（Impact Load），它的特点是加载时间短，荷载的大小在极短 时间内有较大的变化，因此加速度及其变化都很剧烈，不易直接测定。冲击波或 爆炸是冲击荷载的典型来源。工程中的冲击实例很多，例如汽锤锻造、落锤打桩、 传动轴突然刹车等。这类构件的应力及材料机械性质都与静荷载时不同。 3）周期性荷载，它的特点是在多次循环中，荷载相继呈现相同的时间历程。 如旋转机械装置因质量不平衡引起的离心力。对于承受这类动荷载的构件，荷载 产生的瞬时应力可以近似地按静荷载公式计算，但其材料的机械性质与静荷载时 有很大区别。 动荷载问题的研究分为两个方面。一方面是由动荷载引起的应力、应变和位 移的计算；另一方面是动荷载下的材料行为。本章属基本知识介绍，只讨论前两 种情况下简单问题的应力和位移的计算，对于第三种情况，则只介绍有关的基本 概念。以唤起读者对动荷载问题的注意。在解决实际问题时，需遵照有关规范要 求进行分析计算。 2 、杆件作等加速直线运动时的应力计算 构件承受静荷载时，根据静力平衡方程确定支反力及内力。当杆件作加速运 动时，考虑加速度的影响，由牛顿第二定律可知 F ga    =  （15.1） 式中， F   为杆杆所受外力的合力，  为材料密度， g 为重力加速度， a  为杆件 的加速度。在静荷载时， a = 0  （此时，式（15.1）即为静力平衡方程。若令 F ga   ' = − F'  称为惯性力，则式（15.1）可写成  F + F' = 0   （15.2） 这样，就可将对运动构件的分析式（15.1）。看成添加惯性力后的平衡问题式 （15.2）来处理。这种将运动问题转化成平衡问题来分析的方法，称为达朗伯原 理（D’ Alembert’s principle），又称为动静法。下面介绍它的应用。 2.1 动荷拉伸压缩时杆的应力 现用起重机以匀加速加吊构件为例，来说明构件作等加速直线运动时动荷应 力的计算方法。 图 15.1a 所示为一被起吊时的杆件，其横截面面积为 A，长为 l，材料密度 为  ，吊索的起吊力为 F，起吊时的加速度为 a，方向向上。要求杆中任意横截 面Ⅰ.Ⅰ的正应力

g (b) (d)应力分布图 图15.1 仍用截面法,取任一截面Ⅰ.I以下部分杆为脱离体,该部分杆长为x(图 15.1b),脱离体所受外力有自身的重力,其集度为 a 有截面Ⅰ.I上的轴力F’根据动静法(达朗伯原理),如果把这部分杆的惯性 力作用为虚拟的力,其集度为 方向与加速度a相反(图15.1c)。则作用在这部分杆上的自重、惯性力和轴力 (即动荷轴力)可看作是平衡力系。应用平衡条件很易求得动荷轴力F 根据平衡条件∑F=0,有 Fd-(qs+ga).x=0 由此求得 Fid=(qst+qd).x 将式(a)和(b)代入上式,得 F=(4g+4x9)x=4g1+ (d) 式中Agx是这部分杆的自重,相当于静荷载。相应的轴力以F表示 称为静荷轴力。于是式(d)可改写成

图 15.1 仍用截面法，取任一截面Ⅰ.Ⅰ以下部分杆为脱离体，该部分杆长为 x（图 15.1b），脱离体所受外力有自身的重力，其集度为 qst = Ag （a） 有截面Ⅰ.Ⅰ上的轴力 ' Fd ，根据动静法（达朗伯原理），如果把这部分杆的惯性 力作用为虚拟的力，其集度为 a g A g q =   d （b） 方向与加速度 a 相反（图 15.1c）。则作用在这部分杆上的自重、惯性力和轴力 （即动荷轴力）可看作是平衡力系。应用平衡条件很易求得动荷轴力 ' Fd 。 根据平衡条件 Fx = 0 ，有 ( ) 0 ' Fd − qst + qd  x = 由此求得 F q q x d st d = ( + ) ' 1 （c） 将式（a）和（b）代入上式，得         = +  = + g a x A gx g a Fd (A g A g ) 1 '    （d） 式中 Agx 是这部分杆的自重，相当于静荷载。相应的轴力以 ' Fst 表示 F A gx st =  ' （e） 称为静荷轴力。于是式（d）可改写成

Fd 由式可见,动荷轴力等于静荷轴力乘以系数1+2以k表示: (15.3) K称为杆件作铅垂匀加速上升运动时的动荷系数,它与加速度a成比例,将式 (15.3)代入(f)得 Fa=Fx·K 即动荷轴力等于静荷轴力乘以运动荷系数。当a=0时,Ka=1,即动荷轴力等于 静荷轴力。 欲求截面上的动荷正应力σ,可将动荷轴力除以截面面积A即得。 由式(d),有 (g) 式中mgx即为静荷应力σn,所以上式也可写成: (15.5) 即动荷应力等于静荷应力乘以动荷系数 图15.1d示动荷应力o图,它是x的线性函数,当x=1时,由式(g)可得 最大动荷应力σdm为 (15.6) 同理,欲求动荷伸长或缩短M,也可由静荷伸长或缩短Δn乘以动荷系数Ka 得到: 2.2动荷弯曲时梁的应力计算 图15.2a示一由起重机起吊的梁,上升加速度为a,设梁长为1,梁的密度 为p。则每单位梁长的自重(静荷集度)为A,惯性力为4a。将静荷集度 与惯性力相加,并以q表示得

        = + g a Fd Fst 1 ' ' （f） 由式可见，动荷轴力等于静荷轴力乘以系数         + g a 1 以 Kd 表示： g a Kd =1+ （15.3） Kd 称为杆件作铅垂匀加速上升运动时的动荷系数，它与加速度 a 成比例，将式 （15.3）代入（f）得 Fd Fst Kd =  ' ' （15.4） 即动荷轴力等于静荷轴力乘以运动荷系数。当 a = 0 时， Kd =1，即动荷轴力等于 静荷轴力。 欲求截面上的动荷正应力  d ，可将动荷轴力除以截面面积 A 即得。 由式（d），有         = + g a gx A F d d 1 '   （g） 式中 gx 即为静荷应力  st ，所以上式也可写成： d st Kd  =  （15.5） 即动荷应力等于静荷应力乘以动荷系数。 图 15.1d 示动荷应力  d 图，它是 x 的线性函数，当 x = l 时，由式（g）可得 最大动荷应力  d ,max 为 d st Kd g a g l =           ,max =   1+  ,max （15.6） 同理，欲求动荷伸长或缩短 d l ，也可由静荷伸长或缩短 st l 乘以动荷系数 Kd 得到： d st Kd l = l  （h） 2.2 动荷弯曲时梁的应力计算 图 15.2a 示一由起重机起吊的梁，上升加速度为 a ，设梁长为 l ，梁的密度 为  。则每单位梁长的自重（静荷集度）为 Ag ，惯性力为 a g A g   。将静荷集度 与惯性力相加，并以 qd 表示得：

+ . a=Apg 1+==qsr K qa称为动荷集度,此式表明动荷集度仍可表为静荷集度q乘以动荷系数K。 于是可以把梁看作为一无重梁,该梁沿全长受集度为q的均布荷载作用,如 图15.2b所示 0021972-021q2 0.0210.2 200586192 c)梁的弯矩图 图 适当选择吊装点(图15.2a),可使梁内正弯矩的最大值与负弯矩的最大 绝对值相等,其值为 =0.021q12=02lyx12.Kd=MxK4 式中M为最大静荷(自重)弯矩。相应的弯矩图示于图15.2c。危险截面的最 大动荷应力σdm为 o dmux Mb=/σ,mAd (k) W 式中G==Mm是由静荷载所引起的最大正应力。 不论是动荷拉压问题或动荷弯曲问题,求得最大动荷应力σdmx后,仍可像 以前那样,来建立强度条件: od.mx =ost.mmy (15.7) 式中同]仍是静荷计算中的许用应力。上式也可写成 ] (15.8) 此式表明,验算动荷强度时,也可用静荷应力建立强度条件,只要把许用应力] 除以动荷系数Kd即可

d qst Kd g a a A g g A g q A g =          = +  =  1+   （i） qd 称为动荷集度，此式表明动荷集度仍可表为静荷集度 qst 乘以动荷系数 Kd 。 于是可以把梁看作为一无重梁，该梁沿全长受集度为 qd 的均布荷载作用，如 图 15.2b 所示。 图 15。2 适当选择吊装点（图 15.2a），可使梁内正弯矩的最大值与负弯矩的最大 绝对值相等，其值为 d d st Kd Mst Kd M = q l = q l  =  2 2 0.021 0.021 （j） 式中 M st 为最大静荷（自重）弯矩。相应的弯矩图示于图 15.2c。危险截面的最 大动荷应力  d ,max 为 d st d d st d K K W M W M = = = max   ,max  , （k） 式中 W M st  st,max = 是由静荷载所引起的最大正应力。 不论是动荷拉压问题或动荷弯曲问题，求得最大动荷应力  d ,max 后，仍可像 以前那样，来建立强度条件：  =      d,max st,max Kd （15.7） 式中  仍是静荷计算中的许用应力。上式也可写成   d st K   ,max  （15.8） 此式表明，验算动荷强度时，也可用静荷应力建立强度条件，只要把许用应力  除以动荷系数 Kd 即可

3、杆件作等角速度转动时的应力计算 图15.3a示一根长为1,截面面积为A的等直杆OB,其位置是水平的,O端 与刚性的竖直轴z连接,设它以角速度ω绕z轴作等速转动,现来研究其横截面 上的动荷应力 q I A 0 (b) (c) 图15.3 由于杆绕O点作匀速转动,由运动学知,杆内任一质点的切向加速度为零, 而只有向心加速度a,其值为 a (15.9) 式中x为质点到转动中心O的距离。相应地就有惯性力,其大小为mn=mxo2, 方向与向心加速度相反,式中m为质点质量。此惯性力沿杆全长分布,设p为材料 密度,则其集度为 Ap 与x成比例,如图15.3b所示。 现于离O端x处,用相距为dx的二橫截面截取一微段,则其惯性力dF为 d Fa=ga dx=Apo-xdx 欲求x截面上的动荷内力Fa(x),可在x截面处把杆截开,取1.x段杆为脱离体, 求出它的惯性力之和。 ∫dF=∫,4 然后,根据动静法,即得 动荷应力a(x)为

3、 杆件作等角速度转动时的应力计算 图 15.3a 示一根长为 l，截面面积为 A 的等直杆 OB，其位置是水平的，O 端 与刚性的竖直轴 z 连接，设它以角速度  绕 z 轴作等速转动，现来研究其横截面 上的动荷应力。 图 15.3 由于杆绕 O 点作匀速转动，由运动学知，杆内任一质点的切向加速度为零， 而只有向心加速度 an ，其值为 2 an = x  （15.9） 式中 x 为质点到转动中心 O 的距离。相应地就有惯性力，其大小为 2 man = mx ， 方向与向心加速度相反，式中 m 为质点质量。此惯性力沿杆全长分布，设  为材料 密度，则其集度为 qd x A 2 = （a） 与 x 成比例，如图 15.3b 所示。 现于离 O 端 x 处，用相距为 dx 的二横截面截取一微段，则其惯性力 d Fd 为 d F q d x A x d x 2 d = d =  （b） 欲求 x 截面上的动荷内力 ' ( ) d F x ，可在 x 截面处把杆截开，取 l.x 段杆为脱离体， 求出它的惯性力之和。 F A x x l x l x d d 2    = 然后，根据动静法，即得 2 ' ( ) d 2 2 2 2 d l x F x A x x A l x − =  =    （c） 动荷应力 ( ) d  x 为

2 其分布规律如图15.3c所示。最大动荷应力发生在x=0处,即靠近z轴处,其值 为 (15.10) 下面讨论圆环绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴作匀角速旋转的情况,如图 15.4a所示。机械里的飞轮或带轮等作匀速转动时,若不计轮辐的影响,就是这 种情况的实例。 图15. 设环的宽度为t,平均半径为R,且t远小于R,截面面积为A。圆环作匀角 速转动时,有向心加速度an=R2,于是各质点将产生离心惯性力,集度为 其作用点假设在平均圆周上,方向向外辐射,如图15.4b所示 欲求截面上的动荷内力Fa,可取半个圆环为脱离体(图15.4c),按动静法, 脱离体受离心惯性力q及动荷轴力Fs的作用而平衡,于是由∑F,=0,有 2Fa= a coed s=2 Apo R Rde cos0 由此得 Fa=Apor 动荷应力为 POoR (15.11) 强度条件为

2 ' ( ) ( ) 2 2 2 d l x A F x x d −  = =   （d） 其分布规律如图 15.3c 所示。最大动荷应力发生在 x = 0 处，即靠近 z 轴处，其值 为 2 2 2 d,max  l  = （15.10） 下面讨论圆环绕通过圆心且垂直于圆环平面的轴作匀角速旋转的情况，如图 15.4a 所示。机械里的飞轮或带轮等作匀速转动时，若不计轮辐的影响，就是这 种情况的实例。 图 15.4 设环的宽度为 t，平均半径为 R，且 t 远小于 R，截面面积为 A。圆环作匀角 速转动时，有向心加速度 2 an = R ，于是各质点将产生离心惯性力，集度为 2 qd = AR （e） 其作用点假设在平均圆周上，方向向外辐射，如图 15.4b 所示。 欲求截面上的动荷内力 d F' ，可取半个圆环为脱离体（图 15.4c），按动静法， 脱离体受离心惯性力 qd 及动荷轴力 d F' 的作用而平衡，于是由 Fy = 0 ，有       2 ' cos d d cos 2 2 2 F d = qd s = A R R   + − 由此得 2 2 d F' = A R （f） 动荷应力为 d 2 2 d ' R A F  = =  （15.11） 强度条件为

AoR2≤[G] (15.12) 上式表明,对于同样半径的圆环,其应力的大小与截面积A的大小无关,而与角 速度ω2成比例。所以,要保证圆环的强度,须限制圆环的转速。 4、冲击时应力和变形的计算 4.1概述 冲击( Impat)是指因力、速度和加速度等参量急剧变化而激起的系统的瞬 态运动。其特点是冲击激励参量的幅值变化快,与系统的固有周期相比持续时间 短,频率范围宽。在物体碰撞、炸药爆炸、地震等过程中,都会产生冲击。受冲 击作用的结构上会产生幅值很大的加速度和应力。 本节仅讨论简单冲击现象。例如,当一运动物体以某一速度与另一静止物体 相撞时,物体的速度在极短的时间内发生急剧的变化,从而受到很大的作用力 这种现象便为冲击。其中运动的物体称为冲击物,受冲击物体称为被冲击物。被 冲击物因受冲击而引起的应力称为冲击应力( Impact Stress)。用重锤打桩,吊 车突然刹车等都是工程中常见的冲击问题。 由于冲击时间非常短促,而且不易精确测出,因此加速度的大小很难确定。 这样就不能引入惯性力,无法用前节介绍的动静法求出冲击时的应力和变形。事 实上,精确分析冲击现象是一个相当复杂的问题,因而在工程实际中,一般采用 偏于保守的能量法来计算被冲击物中的最大动应力和最大动变形。为了简化计 算,还需采用如下几个假设: ①冲击物的变形很小,可视为刚体 ②被冲击物的质量引起的应力可单独分析,对冲击影响小,分析冲击时忽 略不计 ③冲击物与被冲击物接触后,两者即附着在一起运动; ④略去冲击过程中的能量损失(如热能的损失),只考虑动能与势能(重力 势能和弹性应变能)的转化。 因此,由能量守恒定律可知,在冲击过程中,冲击物所减少的动能T和势能 J之和应等于被冲击物所增加的弹性应变能V,即 T+= (15.13) 上式为用能量法求解冲击问题的基本方程。 4.2冲击时应力及位移的计算公式 4.2.1自由落体冲击 设以弹簧代表一被冲击构件(图15.5a)。实际问题中,一根被冲击的梁(图 15.5b),或被冲击的杆(图15.5c),或其它被冲击的弹性构件都可以看作是 个弹簧,只是各种情况的弹簧常数不同而已。设冲击物的重量为φ,从距弹簧顶 端为h的髙度自由落下。重物与弹簧接触后速度迅速减小,最后为零,此时弹簧 的变形最大,用△表示。下面来求△4的表达式。 由图15.5a可知,弹筑达到最大变形△4时,冲击物减少的势能为 =Q(h+△d)

[ ] ' d 2 2  d = =  R   A F （15.12） 上式表明，对于同样半径的圆环，其应力的大小与截面积 A 的大小无关，而与角 速度 2  成比例。所以，要保证圆环的强度，须限制圆环的转速。 4、冲击时应力和变形的计算 4.1 概述 冲击（Impat）是指因力、速度和加速度等参量急剧变化而激起的系统的瞬 态运动。其特点是冲击激励参量的幅值变化快，与系统的固有周期相比持续时间 短，频率范围宽。在物体碰撞、炸药爆炸、地震等过程中，都会产生冲击。受冲 击作用的结构上会产生幅值很大的加速度和应力。 本节仅讨论简单冲击现象。例如，当一运动物体以某一速度与另一静止物体 相撞时，物体的速度在极短的时间内发生急剧的变化，从而受到很大的作用力。 这种现象便为冲击。其中运动的物体称为冲击物，受冲击物体称为被冲击物。被 冲击物因受冲击而引起的应力称为冲击应力（Impact Stress）。用重锤打桩，吊 车突然刹车等都是工程中常见的冲击问题。 由于冲击时间非常短促，而且不易精确测出，因此加速度的大小很难确定。 这样就不能引入惯性力，无法用前节介绍的动静法求出冲击时的应力和变形。事 实上，精确分析冲击现象是一个相当复杂的问题，因而在工程实际中，一般采用 偏于保守的能量法来计算被冲击物中的最大动应力和最大动变形。为了简化计 算，还需采用如下几个假设： ① 冲击物的变形很小，可视为刚体； ② 被冲击物的质量引起的应力可单独分析，对冲击影响小，分析冲击时忽 略不计； ③ 冲击物与被冲击物接触后，两者即附着在一起运动； ④ 略去冲击过程中的能量损失（如热能的损失），只考虑动能与势能（重力 势能和弹性应变能）的转化。 因此，由能量守恒定律可知，在冲击过程中，冲击物所减少的动能 T 和势能 V 之和应等于被冲击物所增加的弹性应变能 Vε ，即 T +V =Vε （15.13） 上式为用能量法求解冲击问题的基本方程。 4.2 冲击时应力及位移的计算公式 4.2.1 自由落体冲击 设以弹簧代表一被冲击构件（图 15.5a）。实际问题中，一根被冲击的梁（图 15.5b），或被冲击的杆（图 15.5c），或其它被冲击的弹性构件都可以看作是一 个弹簧，只是各种情况的弹簧常数不同而已。设冲击物的重量为 Q，从距弹簧顶 端为 h 的高度自由落下。重物与弹簧接触后速度迅速减小，最后为零，此时弹簧 的变形最大，用 d 表示。下面来求 d 的表达式。 由图 15.5a 可知，弹筑达到最大变形 d 时，冲击物减少的势能为 ( ) V = Q h + d （a）

由于冲击物的初速度与最终速度都等零,所以没有动能的变化,即 (b) 图 被冲击物的弹性应变能v等于冲击荷载在沖击过程中所作的功。由于冲击荷载和 位移分别由零增加到最大值F4和△,当材料服从胡克定律时,冲击荷载所做的 功为F4△4/2,故有 E=÷Fd△ 将式(a)、(b)和(c)代入基本方程(15.13),得 Q(h+△d)=Fd (d) 设重物φ按静荷载方式作用于构件(弹簧)上时的静位移为△x,静应力为σs 在线弹性范围内,变形、应力和荷载成正比,故有 Fa od ad 或者写成 Fa 以式(e)的第一式代入式(d),得 Q(h+△d)=9 或者写成 A-2△aAa-2ha=0 由此解出 △a=△a±√A2a+2ha=△dl±

由于冲击物的初速度与最终速度都等零，所以没有动能的变化，即 T = 0 （b） 图 15.5 被冲击物的弹性应变能 Vε 等于冲击荷载在冲击过程中所作的功。由于冲击荷载和 位移分别由零增加到最大值 Fd 和 d ，当材料服从胡克定律时，冲击荷载所做的 功为 Fd d / 2 ，故有 Vε = Fd d 2 1 （c） 将式（a）、（b）和（c）代入基本方程（15.13），得 d d d 2 1 Q(h +  ) = F  （d） 设重物 Q 按静荷载方式作用于构件（弹簧）上时的静位移为 st ，静应力为  st 。 在线弹性范围内，变形、应力和荷载成正比，故有 st d st d d   = =   Q F 或者写成 F Q st d d   = ， st st d  d    = （e） 以式（e）的第一式代入式（d），得 st 2 d d 2 1 ( )   Q h +  = Q 或者写成 2 st d 2 st 0 2 d −   − h = 由此解出           =    +  =   + st st st 2 d st st 2 2 1 1 h h

为了求得位移的最大值△4,上式中根号前的符号应取正号,故有 △A=△1±|1+ (f) 引用记号 Kd称为自由落体冲击动荷系数。因此式(f)成为 △d=kd△st (15.15a) 式(e)成为 (15.15b) Karst (15.15c) 由此可见,只要求出了动荷系数Ka,用K。分别乘以静荷载、静位移和静应力, 即可求得构件受冲击时所达到的最大动荷载、最大位移和最大应力。 下面对动荷系数K4作进一步说明 1)冲击物作为突加荷载(即h=0)作用在弹性体上时,由式(15.14)可得 K4=2。因此在突加荷载作用下,最大应力和最大位移值都为静荷载作用下的两 倍 2)如果已知冲击物与被冲击物接触前一瞬间的速度为υ,根据自由落体时 U2=2gh,可得 KA=1+,|1+ (15.15) 3)动荷系数K表达式中的静位移△的物理意义是:它是以冲击物的重量Q 作为静荷载,沿冲击方向作用在冲击点时,被冲击构件在冲击点处沿冲击方向的 静位移。计算Δ时,应针对具体结构,按上述意义作具体分析。 4.2.2水平冲击 设重物Q以速度U沿水平方向冲击一弹性系统(以弹簧表示),如图15.6所 示。当重物与弹性系统接触后,该弹性系统便开始变形。与此同时,重物的速度 逐渐减小,当速度降到零时,被冲击点达到最大位移△d。下面来求△d的表达式

为了求得位移的最大值 d ，上式中根号前的符号应取正号，故有           =   + st d st 2 1 1 h （f） 引用记号 st st d d 2 1 1  = + +   = h K （15.14） Kd 称为自由落体冲击动荷系数。因此式（f）成为 d = Kdst （15.15a） 式（e）成为 Fd = KdQ （15.15b）  d = Kd st （15.15c） 由此可见，只要求出了动荷系数 Kd ，用 Kd 分别乘以静荷载、静位移和静应力， 即可求得构件受冲击时所达到的最大动荷载、最大位移和最大应力。 下面对动荷系数 Kd 作进一步说明： 1）冲击物作为突加荷载（即 h = 0 ）作用在弹性体上时，由式（15.14）可得 Kd = 2 。因此在突加荷载作用下，最大应力和最大位移值都为静荷载作用下的两 倍。 2）如果已知冲击物与被冲击物接触前一瞬间的速度为  ，根据自由落体时 2gh 2  = ，可得 st 2 d 1 1  = + + g K  （15.15） 3）动荷系数 Kd 表达式中的静位移 st 的物理意义是：它是以冲击物的重量 Q 作为静荷载，沿冲击方向作用在冲击点时，被冲击构件在冲击点处沿冲击方向的 静位移。计算 st 时，应针对具体结构，按上述意义作具体分析。 4.2.2 水平冲击 设重物 Q 以速度  沿水平方向冲击一弹性系统（以弹簧表示），如图 15.6 所 示。当重物与弹性系统接触后，该弹性系统便开始变形。与此同时，重物的速度 逐渐减小，当速度降到零时，被冲击点达到最大位移 d 。下面来求 d 的表达式