重庆大学：《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第十六章 循环应力

第十六章循环应力 、教学目标和教学内容 1.教学目标 使学生掌握循环应力概念、表示方法,循环特征,了解在对称循环时 材料的疲劳极限和构件的疲劳极限。 2.教学内容 讲解循环应力概念、表示方法,介绍循环特征,计算在对称循环时材料 的疲劳极限和构件的疲劳极限(尤其是让学生了解影响构件疲劳强度的三大 主要因素)。 重点难点 重点:循环应力有关概念 难点:对于循环应力问题中,材料疲劳强度和构件疲劳强度的联 系与区别 三、教学方式 采用启发式教学,通过提问,引导学生思考,让学生回答问题 四、建议学时 3学时 五、讲课提纲 1、循环应力下构件的疲劳强度 在工程中,某些构件工作时,其应力随时间作用周期性的变化。例如图16.la 所示的梁,在电动机自重和转子质量偏心所引起的离心力作用下将发生振动。这 时梁内任一点的应力将随时间作周期性变化,如图16.1b所示。又如图16.2a 所示的火车轮轴,虽然荷载不变,但由于轴在转动,因此横截面上任一点的应力 将随着该点位置的变动而发生周期性变化,如图16.2b所示 一个应力循环 △△ 最大位移位置静平衡位置最小位移位置 (b) 图16.1

第十六章 循 环 应 力 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 使学生掌握循环应力概念、表示方法，循环特征，了解在对称循环时 材料的疲劳极限和构件的疲劳极限。 2．教学内容 讲解循环应力概念、表示方法，介绍循环特征，计算在对称循环时材料 的疲劳极限和构件的疲劳极限（尤其是让学生了解影响构件疲劳强度的三大 主要因素）。 二、重点难点 重点： 循环应力有关概念。 难点： 对于循环应力问题中，材料疲劳强度和构件疲劳强度的联 系与区别 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 3 学时 五、讲课提纲 1 、循环应力下构件的疲劳强度 在工程中，某些构件工作时，其应力随时间作用周期性的变化。例如图 16.1a 所示的梁，在电动机自重和转子质量偏心所引起的离心力作用下将发生振动。这 时梁内任一点的应力将随时间作周期性变化，如图 16.1b 所示。又如图 16.2a 所示的火车轮轴，虽然荷载不变，但由于轴在转动，因此横截面上任一点的应力 将随着该点位置的变动而发生周期性变化，如图 16.2b 所示。 图 16.1

上述这些实例中,随时间作周期性变化的应力称为循环应力( Cyclic Stress),我国又常称为交变应力( Alternative stress) 应力循环 #下 图16.2 1.1疲劳破坏及其特征 构件在循环应力作用下产生的破坏为疲劳破坏( Fatigue Fracture)。在循 环应力作用下,材料抵抗疲劳破坏的能力称为疲劳强度( Fatigue Strength)。 构件在循环应力作用下疲劳破坏与静载下的强度破坏具有本质的差别。实践证 明,疲劳破坏具有以下特征: (1)强度降低 在循环应力下工作的构件,即使其最大应力远底于材料静载时的强度极限, 甚至低于屈服极限,但经过长期工作后也会突然断裂。例如用45号钢(非结构 钢)制作的构件,承受图16.12b所示的弯曲循环应力,当最大应力mx=260MPa 时,约经历107次循环就可能发生断裂而45号钢的屈服极限ay=350MPa强度极 限 S00 MPa (2)脆性破坏 构件在破坏前没有明显的塑性变形,即使塑性较好的材料也会像脆性一样突 然发生断裂。 (3)断口具有一定的特征 疲劳破坏时,构件断口的表面明显地分为两个区域:光滑区域和粗糙区域, 如图16.3所示。 疲劳裂纹源 光滑风 粗糙区

上述这些实例中，随时间作周期性变化的应力称为循环应力（Cyclic Stress），我国又常称为交变应力（Alternative Stress）。 图 16.2 1.1 疲劳破坏及其特征 构件在循环应力作用下产生的破坏为疲劳破坏（Fatigue Fracture）。在循 环应力作用下，材料抵抗疲劳破坏的能力称为疲劳强度（Fatigue Strength）。 构件在循环应力作用下疲劳破坏与静载下的强度破坏具有本质的差别。实践证 明，疲劳破坏具有以下特征： （1） 强度降低 在循环应力下工作的构件，即使其最大应力远底于材料静载时的强度极限， 甚至低于屈服极限，但经过长期工作后也会突然断裂。例如用 45 号钢（非结构 钢）制作的构件，承受图 16.12b 所示的弯曲循环应力，当最大应力  max = 260 MPa 时，约经历 7 10 次循环就可能发生断裂而 45 号钢的屈服极限  y = 350 MPa 强度极 限  b = 600 MPa 。 （2） 脆性破坏 构件在破坏前没有明显的塑性变形，即使塑性较好的材料也会像脆性一样突 然发生断裂。 （3） 断口具有一定的特征 疲劳破坏时，构件断口的表面明显地分为两个区域：光滑区域和粗糙区域， 如图 16.3 所示。 图 16.3

引起疲劳破坏的原因是什么?目前一般是这样解释的:由于构件的形状和材 料不均匀等原因,构件些局部区域的应力特别高。在循环应力长期作用下,这些 局部区域就会出现微观裂缝,形成所谓裂纹源。裂纹尖端的严重应力集中,促使 裂纹逐渐扩展,由微观裂纹变为宏观裂纹。在裂纹扩展过程中,裂纹两侧面在循 环应力作用下时而分开,时而压紧,互相研磨形成光滑区。由于裂纹尖端一般处 于三向拉伸应力状态,不易出现塑性变形,当裂纹逐步扩展到一定限度时,便可 能在偶然因素下(超载、冲击等)骤然迅速扩展,使构件截面严重削弱,最后沿 削弱了的截面突然发生脆性断裂,断口为呈颗粒状的粗糙区。 疲劳破坏往往是在没有明显预兆的情况下突然发生的,从而会造成严重事 故。据统计,机槭零件,尤其是髙速旋转的构件,大部分属于疲劳破坏。因此, 对在循环应力作用下工作的构件,进行疲劳强度计算是非常必要的。例如,我 国钢结构设计规范(GBJ17.88)规定,当应力变化的循环次数≥105次时,应进行 疲劳计算 1.2恒幅循环应力的表示方法和分类 恒幅循环应力是指在各次应力循环中,最大应力σm和最小应力σmn保持恒 定的循环应力,工程中又称稳定循环应力,否则称变幅循环应力。恒幅循环应力 变化规律的一般形式可用图16.4的曲线表示。循环应力的每一周期变化称为 个应力循环( Stress Cyclic),周期变化的次数称为循环次数( Cycle Humber)。 在恒幅循环应力中常采用以下一些表示法。在应力循环中,最大代数值的应力用 m表示,最小代数值的应力用σm表示。σm与σmn的代数平均值称为平均应 力( Mean stress),用an表示, 图 16.4 即 m=-ETo (16.1) om与om的代数差的一半称为应力幅( Stress Amplitude),用a表示,即 omax o mu (16.2)

引起疲劳破坏的原因是什么？目前一般是这样解释的：由于构件的形状和材 料不均匀等原因，构件些局部区域的应力特别高。在循环应力长期作用下，这些 局部区域就会出现微观裂缝，形成所谓裂纹源。裂纹尖端的严重应力集中，促使 裂纹逐渐扩展，由微观裂纹变为宏观裂纹。在裂纹扩展过程中，裂纹两侧面在循 环应力作用下时而分开，时而压紧，互相研磨形成光滑区。由于裂纹尖端一般处 于三向拉伸应力状态，不易出现塑性变形，当裂纹逐步扩展到一定限度时，便可 能在偶然因素下（超载、冲击等）骤然迅速扩展，使构件截面严重削弱，最后沿 削弱了的截面突然发生脆性断裂，断口为呈颗粒状的粗糙区。 疲劳破坏往往是在没有明显预兆的情况下突然发生的，从而会造成严重事 故。据统计，机械零件，尤其是高速旋转的构件，大部分属于疲劳破坏。因此， 对在循环应力作用下工作 的构件，进行疲劳强度计算是非常必要的。例如，我 国钢结构设计规范（GBJ17.88）规定，当应力变化的循环次数 5 10 次时，应进行 疲劳计算。 1.2 恒幅循环应力的表示方法和分类 恒幅循环应力是指在各次应力循环中，最大应力  max 和最小应力  min 保持恒 定的循环应力，工程中又称稳定循环应力，否则称变幅循环应力。恒幅循环应力 变化规律的一般形式可用图 16.4 的曲线表示。循环应力的每一周期变化称为一 个应力循环（Stress Cyclic），周期变化的次数称为循环次数（Cycle Humber）。 在恒幅循环应力中常采用以下一些表示法。在应力循环中，最大代数值的应力用  max 表示，最小代数值的应力用  min 表示。  max 与  min 的代数平均值称为平均应 力（Mean Stress），用  m 表示， 图 16.4 即 2 max min m    + = （16.1）  max 与  min 的代数差的一半称为应力幅（Stress Amplitude），用  a 表示，即 2  max  min  − a = （16.2）

σm与σ灬的代数比值称为循环特征,又称应力比( Stress ratio),用R表示, 即 (16.3) 循环特征R是表征循环应力特性的重要数据。 综上所述,σ灬、σm、σm、σ。和r这五个量描述了循环应力的情况,知 道了其中任两个的值,就可以求出其余三个的值 工程中,将循环特征r=-1的一类应力循环称为对称循环,而将r≠-1的应力 循环称为非对称循环。它们分别如图16.5b和图16.5b所示。 有三种典型的循环应力: 1)对称循环(图16.5a)特点为am=-mn。因此r=-1,am=0,aa=om 2)脉动循环(图16.5b)特别为σmim=0。因此r=0,om=σa=σm/2。 3)静荷载(图16.5c)它可看成是循环应力的一种特例,其特点为 σm=amn=Gm。因此r=+1,aa=0。 任何一种非对称循环的循环应力都可以表示成一个大小为σn的静荷载应力 与一个应力幅为σn的对称循环的应力的叠加 本章仅介绍恒幅循环应力的强度计算问题。以上讨论的概念也适用于剪应力 的情况,只要把σ改为r即可。 图 16.5 2、材料的疲劳极限一疲劳极限曲线 2.1疲劳极限概念 如前所述,材料在循环应力作用下破坏的性质与静荷载作用下是不同的,因 此进行强度计算时就不能以静载下的强度指标(屈服极限σ,或强度极限σ。)作 为依据,材料在循环应力作用下的强度指标应该重新确定。试验表明,在给定的 循环应力下,必须经过一定次数的应力循环,才可能发生疲劳破坏。而且在同 循环特征下,应力循环中的最大应力愈小,则发生疲劳破坏时经历的应力循环次

 min 与  max 的代数比值称为循环特征，又称应力比（Stress Ratio），用 R 表示， 即 max min   r = （16.3） 循环特征 R 是表征循环应力特性的重要数据。 综上所述，  max 、 min、 m、 a 和 r 这五个量描述了循环应力的情况，知 道了其中任两个的值，就可以求出其余三个的值。 工程中，将循环特征 r = −1 的一类应力循环称为对称循环，而将 r  −1 的应力 循环称为非对称循环。它们分别如图 16.5b 和图 16.5b 所示。 有三种典型的循环应力： 1）对称循环（图 16.5a）特点为  max = − min 。因此 r = −1， m = 0 ， a = max 。 2）脉动循环（图 16.5b）特别为  min = 0 。因此 r = 0 ， m = a = max / 2 。 3）静荷载 （图 16.5c）它可看成是循环应力的一种特例，其特点为  max = min = m 。因此 r = +1， a = 0 。 任何一种非对称循环的循环应力都可以表示成一个大小为  m 的静荷载应力 与一个应力幅为  a 的对称循环的应力的叠加。 本章仅介绍恒幅循环应力的强度计算问题。以上讨论的概念也适用于剪应力 的情况，只要把  改为  即可。 图 16.5 2、材料的疲劳极限  疲劳极限曲线 2.1 疲劳极限概念 如前所述，材料在循环应力作用下破坏的性质与静荷载作用下是不同的，因 此进行强度计算时就不能以静载下的强度指标（屈服极限  y 或强度极限  b ）作 为依据，材料在循环应力作用下的强度指标应该重新确定。试验表明，在给定的 循环应力下，必须经过一定次数的应力循环，才可能发生疲劳破坏。而且在同一 循环特征下，应力循环中的最大应力愈小，则发生疲劳破坏时经历的应力循环次

数就愈多。当应力循环中的最大应力小于某一极限值时,试件可以经受无限多次 应力循环而不发生破坏。这一极限应力值就称为疲劳极限( Fatigue Limit)或 持久极限,用σ表示。σ中的脚标r表示该疲劳极限值是在循环特征为r时测出 2.2疲劳极限的测定 测定疲劳极限σr的试验称为疲劳试验,所用的机器为疲劳试验机。最常用的 是测定对称循环的弯曲试验机,其示意图见图16.6。试件的中间部分为纯弯曲, 电动机开动后带动试件旋转,试件上各点就处于对称循环的循环应力作用下。 电动机 攴承筒 试件 记数器 图16.6 试验需要一组试件,根数为610,最小直径为710mm,试件表面磨光(光 滑小试件)。试验时使第一根试件的σm1约等于强度极限ab的60%左右,经过 定的循环次数M后,试件断裂。然后使第二根试件的σ~2略低于第一根试件的 σ,找出第二根试件断裂时的循环次数M2。象这样逐步降低最大应力数值, 继续进行试验,就可得到对应于每个σm时,使试件发生断裂的循环次数N。将 试验结果描成一条曲线,称该曲线为疲劳曲线或σ-N曲线(横坐标因为变化范 围较大,所以一般采用对数坐标,见图16.7)。N又称为材料的疲劳寿命。由疲 劳曲线可以看出:试件断裂前所能经受的循环次数N随着的减小而增大;疲 劳曲线最后逐渐趋于水平,其水平渐近线的纵坐标就是材料的疲劳极限σ-1。 实际上,一般规定一个循环次数№来代替无限长的疲劳寿命,这个规定的 循环次数称为循环基数。在疲劳曲线上与N。对应的σm就是疲劳极限。对于钢 与铸铁等黑色金属材料来说,试件经受107次循环后,如果还没有断裂,则可认

数就愈多。当应力循环中的最大应力小于某一极限值时，试件可以经受无限多次 应力循环而不发生破坏。这一极限应力值就称为疲劳极限（Fatigue Llimit）或 持久极限，用  r 表示。  r 中的脚标 r 表示该疲劳极限值是在循环特征为 r 时测出 的。 2.2 疲劳极限的测定 测定疲劳极限  r 的试验称为疲劳试验，所用的机器为疲劳试验机。最常用的 是测定对称循环的弯曲试验机，其示意图见图 16. 6。试件的中间部分为纯弯曲， 电动机开动后带动试件旋转，试件上各点就处于对称循环的循环应力作用下。 图 16.6 试验需要一组试件，根数为 6~10，最小直径为 7~10mm，试件表面磨光（光 滑小试件）。试验时使第一根试件的  max, 1 约等于强度极限  b 的 60%左右，经过一 定的循环次数 N1 后，试件断裂。然后使第二根试件的  max, 2 略低于第一根试件的  max, 1 ，找出第二根试件断裂时的循环次数 N2 。象这样逐步降低最大应力数值， 继续进行试验，就可得到对应于每个  max 时，使试件发生断裂的循环次数 N 。将 试验结果描成一条曲线，称该曲线为疲劳曲线或 σ − N 曲线（横坐标因为变化范 围较大，所以一般采用对数坐标，见图 16.7）。 N 又称为材料的疲劳寿命。由疲 劳曲线可以看出：试件断裂前所能经受的循环次数 N 随着  max 的减小而增大；疲 劳曲线最后逐渐趋于水平，其水平渐近线的纵坐标就是材料的疲劳极限  −1 。 实际上，一般规定一个循环次数 N0 来代替无限长的疲劳寿命，这个规定的 循环次数称为循环基数。在疲劳曲线上与 N0 对应的  max 就是疲劳极限。对于钢 与铸铁等黑色金属材料来说，试件经受 7 10 次循环后，如果还没有断裂，则可认

为再增加循环次数,试件也不会断裂,所以通常取N=107。 R 未断 I& n 图16.7 某些有色金属(例如某些含铝或镁的有色金属)的疲劳试验表明,它们的疲 劳曲线并不趋于水平,即不存在真正的疲劳极限。对这类材料,常根据对构件使 用寿命的要求,规定一个循环基数N。(一般取N0=107~108),将与它对应的最大 应力作为疲劳极限,称为名义疲劳极限。 关于疲劳极限,再作两点说明 1)与测定对称循环疲劳极限σ的方法相似,在给定的循环特征r下下进行 疲劳试验,就可得到各种非对称循环的疲劳极限σ。疲劳试验结果表明:同- 种材料在循环特征不同时,有不同的疲劳极限,其中以对称循环的疲劳极限σ」为 最低。这就是说,对称循环是各种循环特征的循环应力中最不利的一种工作情况。 因此对称循环的疲劳极限σ』在疲劳强度计算中占有重要地位 2)材料的疲劳极限与试件的变形形式有关,同一种材料若变形形式(例如 拉压、弯曲、扭转)不同,则疲劳极限也不同。 从大量的实验数据中得出,在对称循环下,钢材的疲劳极限可用静载下的抗 拉强度极限a6来估计,即 弯曲疲劳极限约为04ob 拉压疲劳极限约为028ab; 扭转疲劳极限约为022σ

为再增加循环次数，试件也不会断裂，所以通常取 7 N0 = 10 。 图 16.7 某些有色金属（例如某些含铝或镁的有色金属）的疲劳试验表明，它们的疲 劳曲线并不趋于水平，即不存在真正的疲劳极限。对这类材料，常根据对构件使 用寿命的要求，规定一个循环基数 N0 （一般取 N0 = 7 10 ~ 8 10 ），将与它对应的最大 应力作为疲劳极限，称为名义疲劳极限。 关于疲劳极限，再作两点说明： 1）与测定对称循环疲劳极限  −1 的方法相似，在给定的循环特征 r 下下进行 疲劳试验，就可得到各种非对称循环的疲劳极限  r 。疲劳试验结果表明：同一 种材料在循环特征不同时，有不同的疲劳极限，其中以对称循环的疲劳极限  −1 为 最低。这就是说，对称循环是各种循环特征的循环应力中最不利的一种工作情况。 因此对称循环的疲劳极限  −1 在疲劳强度计算中占有重要地位。 2）材料的疲劳极限与试件的变形形式有关，同一种材料若变形形式（例如 拉压、弯曲、扭转）不同，则疲劳极限也不同。 从大量的实验数据中得出，在对称循环下，钢材的疲劳极限可用静载下的抗 拉强度极限  b 来估计，即 弯曲疲劳极限约为 4 b 0. ； 拉压疲劳极限约为 28 b 0. ； 扭转疲劳极限约为 22 b 0. ；

3、构件的疲劳极限 实际构件的疲劳极限不但与材料的疲劳极限有关,而且总是小于甚至于远小 于材料的疲劳极限。实际构件不可避免要受到一些不利因素的影响。其疲劳极限 的确定依赖国家的相关规范,并査阅有关计算手册来确定 3.1影响构件疲劳极限的三大主要因素 (1)构件外形的影响,也就是应力集中的影响。 工程设计中,根据阶形轴大小直径比例,是属于弯曲、扭转和拉压那种受力 状况等因素,采用一个大于1的系数,称为有效应力集中系数K。来修正。将材 料的疲劳极限σ-,除以K。来以降低。(关于查系数Ka的表格,可参阅指定教材 和参考书)。 应记住 K>I (a) (2)构件尺寸的影响 构件尺寸愈大,表面层存在的缺陷(微小孔隙,非金属夹杂物等)愈可能大。 设计中,采用一个尺寸系数En,来乘以材料的疲劳极限σ1,将其降低后实用。 即 (3)构件表面质量的影响 构件表面加工的精度愈高,其抗疲劳能力愈强。工程中,采用一个表面质量 系数来进行修正 B 将β乘以材料的疲劳极限σ-以便设计使用 3.2构件的疲劳极限 综合考虑前述三种主要因素后,构件在对称循环下的疲劳极限σ为: SaB 16.4) 式中Kσ、ε。、B均应査阅有关规范和手册。而σ总是小于σ-1,甚至可能o1 4、关于对称循环下构的疲劳强度计算 计算对称循环下的构件的疲劳强度时,应以构件的疲劳极限σ为极限应力。 考虑适当的安全系数后,得到构件的容许应力{]为:

3、构件的疲劳极限 实际构件的疲劳极限不但与材料的疲劳极限有关，而且总是小于甚至于远小 于材料的疲劳极限。实际构件不可避免要受到一些不利因素的影响。其疲劳极限 的确定依赖国家的相关规范，并查阅有关计算手册来确定。 3.1 影响构件疲劳极限的三大主要因素 （1）构件外形的影响，也就是应力集中的影响。 工程设计中，根据阶形轴大小直径比例，是属于弯曲、扭转和拉压那种受力 状况等因素，采用一个大于 1 的系数，称为有效应力集中系数 K 来修正。将材 料的疲劳极限  −1 ，除以 K 来以降低。（关于查系数 K 的表格，可参阅指定教材 和参考书）。 应记住： K 1 （a） （2）构件尺寸的影响 构件尺寸愈大，表面层存在的缺陷（微小孔隙，非金属夹杂物等）愈可能大。 设计中，采用一个尺寸系数   ，来乘以材料的疲劳极限  −1 ，将其降低后实用。 即    1 （b） （3）构件表面质量的影响 构件表面加工的精度愈高，其抗疲劳能力愈强。工程中，采用一个表面质量 系数来进行修正。  1 （c） 将  乘以材料的疲劳极限  −1 以便设计使用。 3.2 构件的疲劳极限 综合考虑前述三种主要因素后，构件在对称循环下的疲劳极限   −1 为： −1 =  −1      K  （16.4） 式中 K 、  、 均应查阅有关规范和手册。而   −1 总是小于  −1 ，甚至可能   −1 远于  −1。 4、关于对称循环下构的疲劳强度计算 计算对称循环下的构件的疲劳强度时，应以构件的疲劳极限   −1 为极限应力。 考虑适当的安全系数后，得到构件的容许应力    −1 为：

] (d 式中n为规定的安全系数,其值应根据有关的设计规范确定。将式(16.8)代入 式(a)后,得 EaB (16.5) 构件的强度条件为 Bo (16.6 K 在工程中,有时采用由安全系数表示的强度条件。构件的工作安全系数G为 (16.7) 强度条件为 将式(16.7)代入式(e)后,得到强度条件为 (16.8) 具体实例参阅指定的主要参考教材

  n 0 1 1 − − =   （d） 式中 n 为规定的安全系数，其值应根据有关的设计规范确定。将式（16.8）代入 式（a）后，得   K n 1 1 − − =       （16.5） 构件的强度条件为   K n 1 max 1 −  − =        （16.6） 在工程中，有时采用由安全系数表示的强度条件。构件的工作安全系数   为 max 1 max 0 1         K n − − = = （16.7） 强度条件为 n  n （e） 将式（16.7）代入式（e）后，得到强度条件为 n K n =  − max 1        （16.8） 具体实例参阅指定的主要参考教材