第一节多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握 多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出 连续函数在连续点的极限 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理 教学难点:计算多元函数的极限 教学内容: 平面点集n维空间 讨论一元函数时,经常用到邻域和区间的概念由于讨论多元函数的需要,我们首先 把邻域和区间概念加以推广,同时还要涉及其它一些概念 平面点集 设20(x0,y0)是x0平面上的一个点,6是某一正数与点P0(x0,0)距离小于8 的点P(x,y)的全体,称为点5的6邹域,记为U(F0,),即 U(2,6)=(PP< 也就是 U(6=4(xy)1(x-)2+(y=y0)2<6 在几何上,U(,6)就是xy平面以上点P0(xy0)为中心、6>0为半径的圆的 内部的点2(x,y)的全体 设E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点如果存在点P的某一邻域 U(F)cE,则称P为E的内点(画图8-1显示).显然,E的内点属于E 如果E的点都是内点,则称E为开集例如,点集1=(x,y)<x2+y2< 每个点都是E1的内点,因此E1为开集 如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点(点P本身可以属于 也可以不属于E),则称P为E的边界点(可画图8-2显示).E的边界点的全体 称为E的边界例如上例中,E1的边界是圆周x 和 设D是开集如果对于D内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于 则称开集D是连通的 连通的开集称为区域或开区域例如,(xy)+y>0及(x<x2+y2<4 都是区域 开区域连同它的边界一起,称为闭区域,例如 (x,y)1x+y≥0及(xy)1≤x2+y2≤4} 都是闭区域第一节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握 多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出 连续函数在连续点的极限. 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理. 教学难点：计算多元函数的极限. 教学内容： 一、平面点集 n维空间 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们首先 把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念. 1． 平面点集 设 是 平面上的一个点， 是某一正数.与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 ，即 = ， 也就是 = { │ }. 在几何上， 就是 平面以上点 为中心、 为半径的圆的 内部的点 的全体. 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点 的某一邻域 ，则称 为 的内点（画图8-1显示）.显然， 的内点属于 . 如果 的点都是内点，则称 为开集.例如，点集 中 每个点都是 1的内点，因此 1为开集. 如果点 的任一邻域内既有属于 的点，也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也可以不属于 ），则称 为 的边界点（可画图8-2显示）. 的边界点的全体 称为 的边界.例如上例中， 1的边界是圆周 和 =4. 设D是开集.如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域.例如， 及 都是区域. 开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如 { │ ≥0}及{ │1≤ ≤4} 都是闭区域