2006基础 线性代数第3章矩阵的初等变换与矩阵的秩 (第j列的k倍加到第i列) E(j(K)) 显然,初等矩阵都可逆,其逆矩阵仍是初等矩阵, 且有 E(I,D=E(i,j; E(i() E(j(D)= E(Ck) 初等矩阵与初等变换有着密切的关系: 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换 例如要将矩阵A的第1行和第3行交换,则左乘一个 初等矩阵E(1,3): 12 13 33 22 23 21 22 23 10 323 12 132006 基础班 线性代数 第３章 矩阵的初等变换与矩阵的秩 3 — 3 （第 j 列的k倍加到第i列） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 ( ( )) O L M O O k E ij k 显然，初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵， 且有 ( , ) ( , ) 1 E i j = E i j − ； ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − λ λ 1 ( ( )) 1 E i E i ； ( ( )) ( ( )) 1 E ij k = E ij −k − ． 初等矩阵与初等变换有着密切的关系： 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵作了一次与初 等矩阵相应类型一样的初等行变换． 例如要将矩阵 的第１行和第３行交换，则左乘一个 初等矩阵 A E(1,3)： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a ＝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ．