银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 R中，通常将x记作)，即 川x作V好+好+…x场. 采用这一记号，结合向量的线性运算，便得 x-y=V(x-)2+(x2-2)2+…+(x-yn)2=px,y): 在n维空间R”中定义了距离以后，就可以定义R”中变元的极限： 设xr-(x,x2,,xn,a=(a,a2,·,an)eR”. 如果 e-ad→0， 则称变元x在R”中趋于固定元a,记作x→a 显然， X→a台x1→a1,X2→a2,···,xn→am. 在R”中线性运算和距离的引入，使得前面讨论过的有关平面点集的一系 列概念，可以方便地引入到(23)维空间中来，例如， 设=(a,a2,·,a)eR”,6是某一正数，则n维空间内的点集 U(a,)=xxE R",px,a)< 就定义为R”中点a的邻域.以邻域为基础，可以定义点集的内点、外点、边 界点和聚点，以及开集、闭集、区域等一系列概念 二.多元函数概念 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 V=m2h. 这里，当r、h在集合{(r,h)|>0,h>0}内取定一对值(r,h)时，V对应的值就随 之确定 例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 P、 其中R为常数.这里，当V、T在集合{(V,D|>0,T下>0}内取定一对值(V,T)时， p的对应值就随之确定 例3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 R-RR R+R 这里，当R1、R2在集合{(R1,R2)川R1>0,R2>0}内取定一对值(R1,R2)时，R的对 应值就随之确定。 定义1设D是R的一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上的二元 函数，通常记为 2=x,y),(x,y)eD(或=fP),P∈D) 其中点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量 上述定义中，与自变量x、y的一对值xy)相对应的因变量：的值，也称为 f在点(x,y)处的函数值，记作x,y),即=x,y). 值域：D)={=x,y,(x,y)eD} 第4页银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 4 页 R 3 中 通常将||x||记作|x|) 即 2 2 2 2 1 || || n x  x x   x  采用这一记号 结合向量的线性运算 便得 || || ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 1 1 x y           x y n n x y x y x y  在 n 维空间 R n 中定义了距离以后 就可以定义 R n 中变元的极限 设 x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)R n  如果 ||xa||0 则称变元 x 在 R n 中趋于固定元 a 记作 xa  显然 xa  x1a1 x2a2     xnan  在 R n 中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系 列概念 可以方便地引入到 n(n3)维空间中来 例如 设 a(a1 a2     an)R n  是某一正数 则 n 维空间内的点集 U(a ){x| x R n  (x a)} 就定义为 R n 中点 a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边 界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二 多元函数概念 例１ 圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r 2 h 这里 当 r、h 在集合{(r  h) | r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V 对应的值就随 之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 RT P V   其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定 例 3 设 R 是电阻 R1、R2 并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 1 2 1 2 R R R R R    这里 当 R1、R2 在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1  R2)时 R 的对 应值就随之确定 定义 1 设 D 是 R 2的一个非空子集 称映射 f  DR 为定义在 D 上的二元 函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或 zf(P) PD) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y) 即 zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D}