银川科技职业学院《高等数学》教来 第八章多元函数徽分学及其应用 函数的其它符号：=(x,),=gx,y)等. 类似地可定义三元函数=x,y,),(x,少)eD以及三元以上的函数， 一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间R”内的点集D,映射∫： DR就称为定义在D上的n元函数，通常记为 =fx1,x2,·,xn),(x1,X2,·,xn)eD, 或简记为 =x),x=(1,x2,··,xn)eD, 也可记为 =fP),P(x1,x2,··,xm)eD 关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数=x)时， 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定 义域.因而，对这类函数，它的定义域不再特别标出.例如， 函数=ln(x+y)的定义域为{x,yr+y>0(无界开区域)方 函数z=arcsin(x2+y)的定义域为{x,2+y2s1(有界闭区域). 二元函数的图形：点集{x,y,z=x,y),(K,)∈D;称为二元函数=x,)的 图形，二元函数的图形是一张曲面. 例如=ax+by+c是一张平面，而函数=x2+y2的图形是旋转抛物面. 三.多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似，如果在Px,y)→Pxo,)的过程中，对应的 函数值x,y)无限接近于一个确定的常数A,则称A是函数x,y)当(x,y)→xo, )时的极限. 定义2设二元函数P)=x,)的定义域为D,Po(xoo)是D的聚点.如果存 在常数A,对于任意给定的正数总存在正数d使得当P(x,y)∈DnUP,)时， 都有 P)4A=x,y吵-AKE 成立，则称常数A为函数x,)当(x,)→x,)时的极限，记为 R心x月=A,或x,Ac,-o,o》, 也记作 fP)=A或P)→AP→PO) 上述定义的极限也称为二重极限， 例4设=(+sm,求证心功=0， 证因为 /c,0H(x+yrsmxy-02+rH5mxl≤x+y, 可见ε>0，取6=E,则当 0<Vx-0P+y-0y<6, 即P(xy)EDnU(O,)时，总有 第5页银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 5 页 函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数 uf(x y z) (x y z)D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 R n 内的点集 D 映射 f  DR 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为 uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2     xn)D  关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定 义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数 zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数 zarcsin(x 2 y 2 )的定义域为{(x y)|x 2 y 2 1}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数 zf(x y)的 图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x 2 +y 2 的图形是旋转抛物面 三 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的 函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义 2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存 在常数 A 对于任意给定的正数总存在正数  使得当 ( , ) ( , ) P x y D U P0     时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 f x y A x y x y   lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0  或 f(x y)A ((x y)(x0 y0)) 也记作 f P A P P   lim ( ) 0 或 f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例 4. 设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y     求证 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  证 因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1 0| | | |sin 1 | ( , ) 0| |( )sin x y x y x y x y f x y x y             可见 >0 取     则当      2 2 0 (x 0) (y 0)  即 P(x, y) D U(O, )    时 总有