银川科技职业学院《高等数学》教亲 第八章多元函数徽分学及其应用 Ifx,y)-0<s, 因此limf(x,y)=0. (x,y)→(0,0) 必须注意： (1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P时，函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于Po时，函数趋于不同的值，则函数的极 限不存在. 讨论： 函数化)=+0在点0.0有无极限 0x2+y2=0 提示：当点P(x,y)沿x轴趋于点(0，O)时， lim f(x,y)=lim f(x,0)=lim 0=0; (x,y)-→>0,0) x→0 x-0 当点Px,y)沿y轴趋于点(0,0)时， lim f(x,y)=lim f(0.y)=lim 0=0. (xy0,0) y-0 y-0 当点P(xy)沿直线y=kx有 200r2+2- lim xy kx2 k =10x2+k2x2+k2· y=kx 因此，函数x,y)在(0,0)处无极限. 极限概念的推广：多元函数的极限 多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似， 例5求lim sin(xy) (xy0,2)x 解：，m=m sin(xy) y=lim (x,y→0,2)X (x,-→0,2)xy sin(x)).im。ny=l×2=2. (xy0,2)xyx,y→0,2) 四.多元函数的连续性 定义3设二元函数P)=∫(x,y)的定义域为D,Po(xo)为D的聚点，且 Po∈D.如果 lim f(x,y)=f(xo:yo), (x.y)(xo-Yo) 则称函数fx,y)在点Po(xo,o)连续. 如果函数∫(x,y)在D的每一点都连续，那么就称函数∫(x,y)在D上连续， 或者称f(x,)是D上的连续函数， 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数fP上去. 例6设x,y)=sinx,证明x,)是R上的连续函数. 证设Po(xo,o)eR2.>0,由于sinx在xo处连续，故妇心0，当r-xo水k时， 有 Isin x-sin xo<&. 以上述作Po的邻域UPo,,则当P(x,y)∈UPo,)时，显然 第6页银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 6 页 |f(x y)0| 因此 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极 限不存在 讨论 函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有无极限？ 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim ( , 0) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim (0, ) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  y y f x y f y  当点 P (x y)沿直线 ykx 有 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x k x x y x y x y kx x y          因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例 5 求 x xy x y sin( ) lim ( , )(0,2)  解 y x y x y x x y x y x y     sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) y xy xy (x,y) (0,2) (x,y) (0,2) lim sin( ) lim     122 四 多元函数的连续性 定义 3 设二元函数 f(P)f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D  如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y    则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x y)是 D 上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去 例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R 2 上的连续函数 证 设 P0(x0 y0) R 2  0 由于 sin x 在 x0 处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0| 以上述作 P0 的邻域 U(P0 ) 则当 P(x y)U(P0 )时 显然