银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 Ix,y)f(xo,yo)=sin x-sin xol<s, 即x,y)sinx在点Po(xo,)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二元函 数在R2上连续 证对于任意的Po(x0,0)ER2.因为 lim f(x,y)=lim sinx=sin xo=f(xXo:yo), (x,y)(xo%) (x,y)→(oJ%) 所以函数x,y)=sinx在点Po(xo,o)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二 元函数在R上连续. 类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函 数时，它们在各自的定义域内都是连续的， 定义4设函数x,y)的定义域为D,Po(xo,o)是D的聚点.如果函数x,) 在点Po(xo,)不连续，则称Po(0,o)为函数x,y)的间断点. xy 例如：函数fx,y)=x2+y x2+y2≠0 0 x2+y2=0 其定义域D=R2,O0,0)是D的聚点.x,)当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以 点O(0,0)是该函数的一个间断点. 1 又如，函数：=s血+一，其定义域为D=,r+y41,圆周C y+y=1)上的点都是D的聚点，而x,)在C上没有定义，当然x,y)在C上 各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点。 可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分 母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数： 多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所 表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到的， 例如x+x2-y2 1+y2 ，sin(x+y以，e+广+都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在 定义域内的区域或闭区域。 由多元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数P)在点P。处的极限， 而该点又在此函数的定义区域内，则imf(P)=f(o). p→Po 例7求lim+y (x,y→，2)xy 解： 函数fx)=+y是初等函数，它的定义域为：D=化，0,0. XV P(1,2)为D的内点，故存在Po的某一邻域UPo)cD,而任何邻域都是区域，所 以UPo)是x,y)的一个定义区域，因此 me/x0=2=2 (xy),2) 第7页银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 7 页 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0| 即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函 数在 R 2 上连续 证 对于任意的 P0(x0 y0)R 2  因为 lim ( , ) lim sin sin ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y x x f x y x y x y x y x y       所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二 元函数在 R 2 上连续 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函 数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y) 在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点 例如：函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y  其定义域DR 2  O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以 点 O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数 1 1 sin 2 2    x y z  其定义域为 D{(x y)|x 2 y 2 1} 圆周 C{(x y)|x 2 y 2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上 各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分 母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所 表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 例如 2 2 2 1 y x x y     sin(xy) 2 2 2 x y z e   都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在 定义域内的区域或闭区域 由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 lim ( ) ( )0 0 f P f P p p    例 7 求 xy x y x y  ( , )(1,2) lim  解 函数 xy x y f x y  ( , ) 是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所 以 U(P0)是 f(x y)的一个定义区域 因此 2 3 lim ( , ) (1,2) ( , ) (1,2)    f x y f x y 