彼得堡悖论与小概率大贡献问题 裴鹿成 中国原子能科学研究院) 摘要彼得堡饽论的产生始于如何使彼得堡赌博公平问题,其所以能成为悖论,是由于 它利用了彼得堡赌博中的这样一个要害问题:赌客获胜概率越小的事件其所赢得的卢布越 多,即本文所讲的“小概率大贡献”问題。本文的目的是想通过对彼得堡赌博问題的分析与 计算看蒙特卡罗方法在解小概率大贡献问题时的困惑,介绍一种析的集团抽样方法,通过计 算证实这种方法对解决小概率大贡献问题是非常有前途的 1彼得堡黯博问题 赌客与赌主二人进行赌博。赌博的规则是,投掷一个金属币直至出现国徽时为止,如果 在第一次掷出国徽,则赌主给赌客一个卢布;如果在第二次掷出国徽,则赌主给赌客两个卢 布;如果在第三次掷出国徽,则赌主给赌客4个卢布,等等。所谓彼得堡赌博问题走向,在每 局赌博开始以前赌客应交付给赌主多少赌金,赌博才算是公平的? 彼得堡赌博问题是于18世纪提出来的,在科学发展史中不仅非常著名,而且,对概率论 的产生与发展有过重要影响。 所谓赌博是公平的,很明显,对于彼得堡赌博而言,比较合适的定义应该是,每局赌博开 始前赌客交付给赌主的赌金应等于,在多局赌博中赌客所赢卢布的平均值。按照这种定义 方法,有蒙特卡罗方法解彼得堡赌博问题的一般步骤如下 (1)开始进行赌博 (2)投掷金属币 产生随机数,当安<1/2时,未出现国徽,转至步骤(3);否则,出现国徽,此局赌博终 止,赌主支付给赌客r个卢布。 (3)下次出现国徽时应支付的卢布 令 r〓Er (4)进入下一次投掷 转至步骤(2) 用N表示按上述过程进行模拟的总次数;rn表示其中对第n局赌博进行模拟时赌主支 付给赌客的卢布,当N足够大时,用 Rn 作为使每局赌博公平赌客应交付给赌主的赌金的近似估计。 2彼得堡悖论 按照彼得堡赌博的规则,很明显,在一局赌博中,赌主支付给赌客卢布的理论平均值应为