赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 特取h=h2∈ⅡX,则有 f(0+1x|)-f(x)=Df()()+o(h1)Iya a=1 此关系式等价于 0 f(xo+|h2)-f°(xo Df(ro(hi +o(hx)∈Ya 0 0 另已有 f(x0+2)-f(m0)=a (x0)(h2)+o°(h2x)∈Ya, 故有 Df(oh =Df(zo)( af (x0)(h2)∈Ya 0 等价于 ax? Df(ro(h'D) (xo)(h)∈lYa赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 特取 h =   0 . . . h i . . . 0   ∈ ∏m i=1 Xi , 则有 f(x0 +   0 . . . h i . . . 0   ) − f(x) = Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) + o(|h i |Xi ) ∈ ∏n α=1 Yα. 此关系式等价于 f α (x0 +   0 . . . h i . . . 0   ) − f α (x0) =   Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   )   α + o α (|h i |Xi ) ∈ Yα. 另已有 f α (x0 +   0 . . . h i . . . 0   ) − f α (x0) = ∂fα ∂xi (x0)(h i ) + o α (|h i |Xi ) ∈ Yα, 故有 Dfα (x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) =   Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   )   α = ∂fα ∂xi (x0)(h i ) ∈ Yα, 等价于 Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) =   ∂f 1 ∂xi . . . ∂fn ∂xi   (x0)(h i ) ∈ ∏n α=1 Yα. 17