赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 以及 IDf(co(h DlY IDf(ao) hlx 0 可引入m()∈x(x;Y),满足 (x0)2Df(xo(n1)∈Y 由此可有 d f(r+h)-f(az)=da (co)(h)+o(hl (x0)(h2)+o(hm,) 考虑一般向量值映照 f(ao+1)-f(ao)=Df(ao(b)+oix)∈ⅡY 以及 Df(ro(h)= Df(ao)( Df(o)(0+…+h2+…+|0 0 =Df(xo0)(0)+…+Df(xo)(h|)+…+Df(xo)(0),赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 以及 |Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   )|Y 6 |Df(x0)| L ( ∏m i=1 Xi;Y ) |h i |Xi , 可引入 ∂f ∂xi (x0) ∈ L (Xi ; Y ), 满足 ∂f ∂xi (x0)(h i ) , Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) ∈ Y, 由此可有 f(x + h) − f(x) = df dx (x0)(h) + o(|h| ∏m i=1 Xi ) = ∑m i=1 ∂f ∂xi (x0)(h i ) + o(|h| ∏m i=1 Xi ). 考虑一般向量值映照 f(x0 + h) − f(x0) = Df(x0)(h) + o(|h| ∏m i=1 Xi ) ∈ ∏n α=1 Yα, 以及 Df(x0)(h) = Df(x0)(   h 1 . . . h m   ) = Df(x0)(   h 1 . . . 0 . . . 0   + · · · +   0 . . . h i . . . 0   + · · · +   0 . . . 0 . . . h m   ) = Df(x0)(   h 1 . . . 0 . . . 0   ) + · · · + Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) + · · · + Df(x0)(   0 . . . 0 . . . h m   ), 16