赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 特取h=2,可有f(0+2)-f(x)=Df(xo)(2+oh1x)∈Y.引入叭(x)= 0 f(x2)∈Y,则有 20 d(x+2)-0()=Df(∞0)(b2|)+o1x)Y 以下证明Df(xo)(h|)为相对h∈x2的有界线性算子.考虑到 0 0 Df(zo)( ah +Bhi =Df(ro)(ah+ Bh =Df(ro)(ah +B hi D) 0 =aDf(ro hi)+BDf(co(h), 0 0赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 特取 h =   0 . . . h i . . . 0   , 可有 f(x0 +   0 . . . h i . . . 0   ) − f(x) = Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) + o(|h i |Xi ) ∈ Y . 引入 ϕ(x i ) = f(   x 1 0 . . . x i . . . x m 0   ) ∈ Y , 则有 ϕ(x i 0 + h i ) − ϕ(x i 0 ) = Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) + o(|h i |Xi ) ∈ Y. 以下证明 Df(x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) 为相对 h i ∈ Xi 的有界线性算子. 考虑到 Df(x0)(   0 . . . αeh i + βbh i . . . 0   ) = Df(x0)(   0 . . . αeh i . . . 0   +   0 . . . βbh i . . . 0   ) = Df(x0)(α   0 . . . h i . . . 0   + β   0 . . . h i . . . 0   ) = αDf(x0)(   0 . . . eh i . . . 0   ) + βDf(x0)(   0 . . . bh i . . . 0   ), 15