赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 性质2.2.存在整体极限等价于存在各分量极限,即 3imf(x)=∈ⅡYa3lmP(xo)=6∈Ya,Va=1 x→ro∈∏X ∏I 证明考虑到 f()-olny2、∑|f()-6B ≥|f(x)-3|ya 则上述结论易得 研究向量值映照的可微性.首先考虑多变量的单值映照 f(r):IIXi5 D2>r →>f(x)∈Y 当f()∈Y在点∈D可微,则彐()∈∏x;Y,有 df f(a +h)-f(r)=(ro(h)+o(h mEY. 考虑 df x0)(h)=x(xo)( (xo)(0)+ (xo)(|h2)+ df (x0)( 14赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 性质 2.2. 存在整体极限等价于存在各分量极限, 即 ∃ lim x→x0∈ ∏m i=1 Xi f(x) = y0 ∈ ∏n α=1 Yα ⇔ ∃ lim x→x0∈ ∏m i=1 Xi f α (x0) = y α 0 ∈ Yα, ∀ α = 1, · · · , n. 证明 考虑到 |f(x) − y0| ∏n α=1 Yα , vuut∑n α=1 |f α(x) − y α 0 | 2 Yα ∼    6 ∑n α=1 |f α (x) − y α 0 |Yα , > |f α(x) − y α 0 |Yα , ∀ α = 1, · · · , n 则上述结论易得. 研究向量值映照的可微性. 首先考虑多变量的单值映照 f(x) : ∏m i=1 Xi ⊃ Dx ∋ x =   X1 . . . Xm   7→ f(x) ∈ Y. 当 f(x) ∈ Y 在点 x0 ∈ Dx 可微, 则 ∃ df dx (x0) ∈ L ( ∏m i=1 Xi ; Y ), 有 f(x + h) − f(x) = df dx (x0)(h) + o(|h| ∏m i=1 Xi ) ∈ Y. 考虑 df dx (x0)(h) = df dx (x0)(   h 1 . . . h m   ) = df dx (x0)(   h 1 . . . 0 . . . 0   + · · · +   0 . . . h i . . . 0   + · · · +   0 . . . 0 . . . h m   ) = df dx (x0)(   h 1 . . . 0 . . . 0   ) + · · · + df dx (x0)(   0 . . . h i . . . 0   ) + · · · + df dx (x0)(   0 . . . 0 . . . h m   ), 14