赋范线性空间上微分学—映照可微性与高阶导数 谢锡麟 2应用事例 命题21.如有∫(x):X3x→f(x)∈Y可微,B(x):X3x→B(x)∈x(Y;Z)可微, x,Y和z为一般赋范线性空间,则有Xx→Bof(x)∈Z可微,且 dB B(a)°(()=[a(a))。(a)+B()a()()小∈z 证明由∫(x)和B(x)的可微性以及B(x)∈x(Y;Z),有 dB B(x+b)of(x+b)=B(x)+(a)(h)+oB(h)of(x)+(x)(h)+o dB =B()of(a)+-(a)(h)o f(a)+B(r)o3(a)(h)+ResE Z, 式中oB(h)∈(Y;Z)满足 lim loB(h)le(: z) ∈R SiX of(h)∈Y满足 =0∈R h→0∈X 考虑到 B(h)。f(x)z≤loB(h)lz(y;z)·|f(x)ly, 可有 OB(h)of(x)=0(h)∈Z 再由 dB (x)(b)o(a)(1)≤=(x)(h) Y;z)d(2)(h) (X;y) aB()°m(x)(b)=o)∈z.由类似分析,可得:Rcs=oO 可有x( 2.1向量值映照 设有映照f(x f(a) f(a):XiD Dr92 Hf(a) a=1 其极限有如下基本性质赋范线性空间上微分学 赋范线性空间上微分学—— 映照可微性与高阶导数 谢锡麟 2 应用事例 命题 2.1. 如有 f(x) : X ∋ x 7→ f(x) ∈ Y 可微, B(x) : X ∋ x 7→ B(x) ∈ L (Y ;Z) 可微, X, Y 和 Z 为一般赋范线性空间, 则有 X ∋ x 7→ B ◦ f(x) ∈ Z 可微, 且 ˙ B(x) ◦ f(x)(h) = [ dB dx (x)(h) ] ◦ f(x) + B(x) ◦ [ df dx (x)(h) ] ∈ Z. 证明 由 f(x) 和 B(x) 的可微性以及 B(x) ∈ L (Y ;Z), 有 B(x + h) ◦ f(x + h) = [ B(x) + dB dx (x)(h) + oB(h) ] ◦ [ f(x) + df dx (x)(h) + of (h) ] = B(x) ◦ f(x) + [ dB dx (x)(h) ] ◦ f(x) + B(x) ◦ [ df dx (x)(h) ] + Res ∈ Z, 式中 oB(h) ∈ L (Y ;Z) 满足 lim h→0∈X |oB(h)|L (Y ;Z) |h|X = 0 ∈ R, of (h) ∈ Y 满足 lim h→0∈X |of (h)|Y |h|X = 0 ∈ R. 考虑到 |oB(h) ◦ f(x)|Z 6 |oB(h)|L(Y,Z) · |f(x)|Y , 可有 oB(h) ◦ f(x) = o(h) ∈ Z. 再由     [ dB dx (x)(h) ] ◦ [ df dx (x)(h) ]    Z 6     dB dx (x)(h)     L (Y ;Z) ·     df dx (x)(h)     Y 6     dB dx (x)     L (X;L (Y ;Z)) ·     df dx (x)     L (X;Y ) |h| 2 X, 可有 [ dB dx (x)(h) ] ◦ [ df dx (x)(h) ] = o(h) ∈ Z. 由类似分析, 可得: Res = o(h). 2.1 向量值映照 设有映照 f(x) f(x) : ∏m i=1 Xi ⊃ Dx ∋ x =   X1 . . . Xm   7→ f(x) =   f 1 (x) . . . f n (x)   ∈ ∏n α=1 Yα, 其极限有如下基本性质. 13