Chinaopub.com 第0章与开关63 下载 传统代数的另外一个特点是它总是处理数字,如豆腐的重量或鸭子的数量,火车行驶的 距离或家庭成员的年龄。是布尔超凡的智慧使代数脱离了数字的概念而变得更加抽象。在 尔代数中(布尔的代数最终被这样命名)操作数不是指数字,而是指集(类)。一个类仅仅表 示一组事物,也就是后来熟知的集合 让我们来讨论一下猫。猫或公或母,为方便起见,我们用字母M指代公猫的集合,用F指 代母猫的集合。记住,这两个符号并不代表猫的数量,公猫或母猫的数量随着小猫仔的出生 和老猫的不幸离去而变化,这两个字母代表的是猫的种类——具有某种特点的猫。因而我们 不说公猫,而是用M来代表它们。 我们也可以用其他字母代表猫的颜色。例如,用T代表黄褐色的猫,用B代表黑猫,用W 代表白猫,而用O代表所有其他颜色的猫。 最后(至少就这个例子而言),猫要么是阉过的要么是有生育能力的。我们用字母N代 阉过的猫,而用U代表有生育能力的猫。 在传统代数中,操作符+和×被用于表示加法和乘法。在布尔代数中,同样用到了+和 这似乎会引起混淆。人人都知道在传统代数中如何对数字进行加和乘,但是我们如何对“类” 进行加和乘呢? 事实上,在布尔代数中我们并不真正地做加或乘,相反,这两个符号有着完全不同的意 在布尔代数中,符号+意味着两个集合合并,两个集合的合并就是包含第一个集合的所有 成员及第二个集合的所有成员。例如,B+W表示黑猫和白猫的集合 布尔代数中的符号×意味着取两个集合的交集,两个集合的交集包含的元素既在第一个 集合中,也在第二个集合中。例如,F×T代表了一种猫的集合,这个集合中的猫既是母猫又 是黄褐色的。与传统代数一样,我们可以把F×T写成F·T或简写为FT(这正是布尔代数所期 望的)。你可以把这两个字母看成是连在一起的两个形容词:黄褐色的母猫。 为避免传统代数和布尔代数之间的混淆,有时候用符号∪和∩而不用+和×来表示并运算 和交运算。但布尔对数学的解放性的部分影响是使熟悉的操作符更加抽象,所以,我们决定 坚持他的决定,而不为他的代数引入新的符号 交换律、结合律和分配律在布尔代数中均适用。而且,在布尔代数中,操作符+可以对 进行分配,这在传统代数中是不成立的,即 W+(B×F)=(W+B)×(W+F 这个式子表示白猫(W)和黑色母猫(B×F)的并集和等式右边两个集合的交集是一样 的,这两个集合是白猫和黑猫的并集(W+B)及白猫和母猫的并集(W+F)。要掌握这个规 则有些困难,但它的确有用 为了使布尔代数更加完整,我们还需要两个符号。这两个符号看上去像数字,但它们并 不真的是数字,因为有时候它们和数字有些不同。符号“1”在布尔代数中表示“整个宇宙 (全集)”,也就是我们所谈论的每件事物。本例中,符号“1”表示“所有的猫”。这样: M+F=1 即母猫和公猫的并集是所有的猫。同样,黄褐色猫、黑猫、白猫及其他颜色的猫的并集 也是所有的猫,即第10章 逻辑与开关 63 下载 传统代数的另外一个特点是它总是处理数字，如豆腐的重量或鸭子的数量，火车行驶的 距离或家庭成员的年龄。是布尔超凡的智慧使代数脱离了数字的概念而变得更加抽象。在布 尔代数中（布尔的代数最终被这样命名）操作数不是指数字，而是指集（类）。一个类仅仅表 示一组事物，也就是后来熟知的集合。 让我们来讨论一下猫。猫或公或母，为方便起见，我们用字母 M指代公猫的集合，用 F指 代母猫的集合。记住，这两个符号并不代表猫的数量，公猫或母猫的数量随着小猫仔的出生 和老猫的不幸离去而变化，这两个字母代表的是猫的种类—具有某种特点的猫。因而我们 不说公猫，而是用M来代表它们。 我们也可以用其他字母代表猫的颜色。例如，用 T代表黄褐色的猫，用 B代表黑猫，用W 代表白猫，而用O代表所有其他颜色的猫。 最后（至少就这个例子而言），猫要么是阉过的要么是有生育能力的。我们用字母 N代表 阉过的猫，而用U代表有生育能力的猫。 在传统代数中，操作符+和×被用于表示加法和乘法。在布尔代数中，同样用到了 +和×。 这似乎会引起混淆。人人都知道在传统代数中如何对数字进行加和乘，但是我们如何对“类” 进行加和乘呢？ 事实上，在布尔代数中我们并不真正地做加或乘，相反，这两个符号有着完全不同的意 思。 在布尔代数中，符号+意味着两个集合合并，两个集合的合并就是包含第一个集合的所有 成员及第二个集合的所有成员。例如， B + W表示黑猫和白猫的集合。 布尔代数中的符号×意味着取两个集合的交集，两个集合的交集包含的元素既在第一个 集合中，也在第二个集合中。例如， F×T代表了一种猫的集合，这个集合中的猫既是母猫又 是黄褐色的。与传统代数一样，我们可以把 F×T写成F·T或简写为F T（这正是布尔代数所期 望的）。你可以把这两个字母看成是连在一起的两个形容词：黄褐色的母猫。 为避免传统代数和布尔代数之间的混淆，有时候用符号∪和∩而不用 +和×来表示并运算 和交运算。但布尔对数学的解放性的部分影响是使熟悉的操作符更加抽象，所以，我们决定 坚持他的决定，而不为他的代数引入新的符号。 交换律、结合律和分配律在布尔代数中均适用。而且，在布尔代数中，操作符 +可以对× 进行分配，这在传统代数中是不成立的，即： W +（B×F）=（W + B）×（W + F） 这个式子表示白猫（ W）和黑色母猫（ B×F）的并集和等式右边两个集合的交集是一样 的，这两个集合是白猫和黑猫的并集（ W + B）及白猫和母猫的并集（ W + F）。要掌握这个规 则有些困难，但它的确有用。 为了使布尔代数更加完整，我们还需要两个符号。这两个符号看上去像数字，但它们并 不真的是数字，因为有时候它们和数字有些不同。符号“ 1”在布尔代数中表示“整个宇宙 (全集)”，也就是我们所谈论的每件事物。本例中，符号“ 1”表示“所有的猫”。这样： M + F = 1 即母猫和公猫的并集是所有的猫。同样，黄褐色猫、黑猫、白猫及其他颜色的猫的并集 也是所有的猫，即：